Lösung - Aufgabe 4

Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

Um die Lagebeziehung der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) zu untersuchen, wird der Abstand \(d(M_{1};M_{2})\) der Mittelpunkte \(M_{1}\) und \(M_{2}\) mit der Summe \(r_{1} + r_{2}\) und ggf. auch mit der positiven Differenz \(\vert r_{1} - r_{2} \vert\) der Radien der Kugeln verglichen (vgl. ABITUR SKRIPT 2.7.5 Lagebeziehung zweier Kugeln).

 

Abstand \(d(M_{1};M_{2})\) der Mittelpunkte der Kugeln berechnen:

Der Abstand \(d(M_{1};M_{2})\) ist gleich der Länge des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\).

 

\(M_{1}(-3|5|8)\), \(M_{2}(7|-5|3)\)

\[\begin{align*}d(M_{1};M_{2}) &= \vert \overrightarrow{M_{1}M_{2}} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{M_{2}} - \overrightarrow{M_{1}} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 10 \\ -10 \\ -5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{10^{2} + (-10)^{2} + (-5)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{225} \\[0.8em] &= 15 \end{align*}\]

 

Summe \(r_{1} + r_{2}\) der Radien der Kugeln berechnen:

Mit \(r_{1} = 3\) und \(r_{2} = 7\) ergibt sich:

 

\[r_{1} + r_{2} = 3 + 7 = 10\]

 

Schlussfolgerung:

Die Kugel \(K_{1}\) und \(K_{2}\) haben keine gemeinsamen Punkte. Sie haben den Abstand \(d(K_{1};K_{2})\) zueinander, denn mit \(d(M_{1};M_{2}) = 15\) und \(r_{1} + r_{2} = 10\) gilt:

 

\[d(M_{1};M_{2}) > r_{1} + r_{2}\]

Veranschaulichung des Abstands der Kugel K₁ und K₂

Veranschaulichung des Abstands der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\)

 

Abstand \(d(K_{1};K_{2})\) der Kugeln berechnen:

 

\[d(K_{1};K_{2}) = d(M_{1};M_{2}) - (r_{1} + r_{2}) = 15 - 10 = 5\]

 

Die Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) haben den Abstand 5 LE (Längeneinheiten) zueinander.

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