Lösung - Aufgabe 1

Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an.

a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\)

b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\)

c) \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\)

d) \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\)

Vorbetrachtung:

Die Lösung eines bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx\) erfordert die Kenntnis einer Stammfunktion \(F(x)\) der Integrandenfunktion \(f(x)\).

Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(f(x)\).

In diesem Zusammenhang sind einige wichtige unbestimmte Integrale von zentraler Bedeutung (vgl. Merkhilfe, vgl. ABITUR SKRIPT - 1.6.2 Unbestimmtes Integral).

 

a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\)

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \dfrac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3}\) benötigt.

Nachdem zunächst der Faktor \((-2)\) aus dem Zähler der Integrandenfunktion ausgeklammert wird, lässt sich auf den verbleibenden Quotienten das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln \vert f(x) \vert + C\) anwenden.

 

\[\frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} = (-2) \cdot \frac{3x^{2} - 3}{x^{3} - 3x + 3}\]

\[\int \frac{\overbrace{3x^{2} - 3}^{\large{f'(x)}}}{\underbrace{x^{3} - 3x + 3}_{\large{f(x)}}} dx = \ln{\vert \underbrace{x^{3} - 3x + 3}_{\large{f(x)}} \vert} + C\]

 

Die Funktion \(x \mapsto \ln{\vert x^{3} - 3x + 3 \vert}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(x \mapsto \dfrac{3x^{2} - 3}{x^{3} - 3x + 3}\) (für \(C = 0\)).

 

Bestimmtes Integral \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\) berechnen:

 

\[\begin{align*}  \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx &= \int_{0}^{1} (-2) \cdot \frac{ 3x^{2} - 3}{x^{3} - 3x + 3} dx \\[0.8em] &= (-2) \cdot \int_{0}^{1} \frac{3x^{2} - 3}{x^{3} - 3x + 3} dx \\[0.8em] &= (-2) \cdot \left[ \ln{\vert x^{3} - 3x + 3 \vert} \right]_{0}^{1} \\[0.8em] &= (-2) \cdot \left( \ln{\vert 1^{3} - 3 \cdot 1 + 3 \vert} - \ln{\vert 0^{3} - 3 \cdot 0 + 3 \vert} \right) \\[0.8em] &= (-2) \cdot \left( \ln{1} - \ln{3} \right) \\[0.8em] &= (-2) \cdot (0 - \ln{3}) \\[0.8em] &= 2\ln{3} \end{align*}\]

 

b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\)

Das Integral \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt\) wird in Abhängigkeit von \(a\) mit \(a \in \mathbb N\) (vgl. Angabe) bestimmt.

Hierfür wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(t \mapsto 3t - 2\) benötigt. Diese lässt sich mithilfe des unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \; (r \neq -1)\) finden.

Abschließend kann die verbleibende integralfreie Gleichung nach \(a\) aufgelöst werden.

\[\int (3t - 2) dt = 3 \cdot \frac{t^{1 + 1}}{1 + 1} - 2t + C = \frac{3}{2}t^{2} - 2t + C\]

 

Die Funktion \(t \mapsto \dfrac{3}{2}t^{2} - 2t\) ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(t \mapsto 3t - 2\) (für \(C = 0\)).

 

Die Gleichung \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\) kann nun integralfrei beschrieben werden.

 

\[\begin{align*} \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt &= 4 \\[0.8em] \left[ \frac{3}{2}t^{2} - 2t \right]_{-a}^{3a} &= 4 \\[0.8em] \frac{3}{2} \cdot (3a)^{2} - 2 \cdot 2a - \left( \frac{3}{2}a^{2} - 2 \cdot a \right) &= 4 \\[0.8em] \frac{3}{2} \cdot 9a^{2} - 6a - \frac{3}{2}a^{2} - 2a &= 4 \\[0.8em] 12a^{2} - 8a &= 4 & & | - 4 \\[0.8em] 12a^{2} - 8a - 4 &= 0 & &(a \in \mathbb N)\end{align*}\]

 

Unter Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt sich:

\[\begin{align*} a_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (-4)}}{2 \cdot 12} \\[0.8em] &= \frac{8 \pm 16}{24} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \pm \frac{2}{3} \qquad (a \in \mathbb N) \end{align*}\]

 

\[a_{1} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\]

\[\left(a_{2} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\right)\]

 

Für \(a = 1\) ist die Gleichung \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\) erfüllt.

 

c) \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\)

Die obere Integrationsgrenze des Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\) ist nicht beschränkt. Es handelt sich um ein uneigentliches Integral, das sich auch durch die folgende Grenzwertbetrachtung beschreiben lässt.

 

\[\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx = \lim \limits_{b \, \to \, \infty} \int_{1}^{b} \frac{3}{x^{2}} dx\]

 

Die Berechnung des uneigentlichen Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\) erfolgt in zwei Schritten:

  • 1. Integralfreie Darstellung des Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{b} \frac{3}{x^{2}} dx\) (Integralfunktion).
  • 2. Grenzwertbetrachtung für \(b \to \infty\)

 

Integralfreie Darstellung des Integrals \(\displaystyle \int_{1}^{b} \frac{3}{x^{2}} dx\) (Integralfunktion):

Es wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \dfrac{3}{x^{2}}\) benötigt. Hierfür formuliert man die Integrandenfunktion mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N \) in der Potenzschreibweise und wendet darauf das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \; (r \neq -1)\) an.

 

\[\frac{3}{x^{2}} = 3x^{-2}\]

\[\int 3x^{-2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} + C = -3x^{-1} + C = -\frac{3}{x} + C\]

 

Die Funktion \(x \mapsto -\dfrac{3}{x}\) ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \dfrac{3}{x^{2}}\) (für \(C = 0\)).

 

\[\begin{align*} \int_{1}^{b} \frac{3}{x^{2}} dx &= \int_{1}^{b} 3x^{-2} dx \\[0.8em] &= \left[ -\frac{3}{x} \right]_{1}^{b} \\[0.8em] &= -\frac{3}{b} - \left( -\frac{3}{1} \right) \\[0.8em] &= -\frac{3}{b} + 3 \end{align*}\]

 

Grenzwertbetrachtung für \(b \to \infty\):

 

\[\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx &= \lim \limits_{b \, \to \, \infty} \int_{1}^{b} \frac{3}{x^{2}} dx \\[0.8em] &= \lim \limits_{b\,\to\,\infty} \Big( \underbrace{-\frac{3}{b}}_{\to\,0} + 3 \Big) \\[0.8em] &= 3 \end{align*}\] 

 

d) \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\)

Nach der Summenregel \(\displaystyle \int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x)\right] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx\) folgt:

 

\[\begin{align*} \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx \enspace = \quad &\int_{4}^{8} e^{-2x} dx \\[0.8em] - &\int_{4}^{8} \sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) dx \\[0.8em] + &\int_{4}^{8} \frac{2}{x-2} dx \end{align*}\]

 

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\) wird je eine Stammfunktion der Integrandenfunktionen \(x \mapsto e^{-2x}\), \(x \mapsto \sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)\) und \(x \mapsto \dfrac{2}{x-2}\) benötigt.

 

Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto e^{-2x}\):

Unter Anwendung der beiden unbestimmten Integrale \(\displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x} + C\) und \(\displaystyle \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, ergibt sich:

\[\int \underbrace{e^{-2x}}_{\large{f(ax\,+\,b)}} dx = \underbrace{\frac{1}{-2}}_{\large{\frac{1}{a}}} \cdot \underbrace{e^{-2x}}_{\large{F(ax\,+\,b)}} + C = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C\]

 

Die Funktion \(x \mapsto -\dfrac{1}{2}e^{-2x}\) ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto e^{-2x}\) (für \(C = 0\)).

 

Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)\):

Unter Anwendung der beiden unbestimmten Integrale \(\displaystyle \int \sin{x}\,dx = -\cos{x} + C\) und \(\displaystyle \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, ergibt sich:

\[\int \underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)}_{\large{f(ax\,+\,b)}} dx = \underbrace{\frac{1}{\frac{\pi}{4}}}_{\large{\frac{1}{a}}} \cdot \Big[\underbrace{-\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)}_{\large{F(ax\,+\,b)}}\Big] + C = -\frac{4}{\pi}\cos\left( \frac{\pi}{4}x \right) + C\]

 

Die Funktion \(x \mapsto -\dfrac{4}{\pi}\cos\left( \dfrac{\pi}{4}x \right)\) ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)\) (für \(C = 0\)).

 

Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \dfrac{2}{x-2}\):

Nach der Umformulierung \(\dfrac{2}{x - 2} = 2 \cdot \dfrac{1}{x - 2}\) kann das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln \vert f(x) \vert + C\) angewendet werden.

\[\int \frac{2}{x-2} dx = 2 \cdot \int \frac{1}{x-2} dx = 2\ln{\vert x - 2 \vert} + C\]

 

Damit lässt sich das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\) wie folgt berechnen:

 

\[\begin{align*} \quad \; \quad &\int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx = \\[0.8em] = \quad &\int_{4}^{8} e^{-2x} dx - \int_{4}^{8} \sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) dx + \int_{4}^{8} \frac{2}{x-2} dx \\[0.8em] = \quad &\left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \right|_{4}^{8} - \left[ -\frac{4}{\pi}\cos\left( \frac{\pi}{4}x \right) \right]_{4}^{8} + \left[ 2\ln{\vert x - 2 \vert} \right]_{4}^{8} \\[0.8em] = \quad &-\frac{1}{2}e^{(-2) \cdot 8} - \left( -\frac{1}{2}e^{(-2) \cdot 4} \right) \\[0.8em] \quad &-\left[ -\frac{4}{\pi}\cos\left( \frac{\pi}{4} \cdot 8 \right) - \left( -\frac{4}{\pi}\cos\left( \frac{\pi}{4} \cdot 4 \right) \right) \right] \\[0.8em] \quad &+ 2\ln{\vert 8 - 2 \vert} - 2\ln{\vert 4 - 2 \vert} \\[0.8em] = \quad &-\frac{1}{2}e^{-16} + \frac{1}{2}e^{-8} \\[0.8em] \quad &+ \frac{4}{\pi}\cos{(2\pi)} - \frac{4}{\pi}\cos{\pi} \\[0.8em] \quad &+ 2\ln{6} - 2\ln{2} \\[0.8em] = \quad &\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{e^{8}} - \frac{1}{e^{16}} \right) \\[0.8em] \quad &+ \frac{4}{\pi} \cdot 1 - \frac{4}{\pi} \cdot (-1) \\[0.8em] \quad & + 2 \cdot \left( \ln{6} - \ln{2} \right) \\[0.8em] = \quad & \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{e^{8}}{e^{8} \cdot e^{8}} - \frac{1}{e^{16}} \right) \\[0.8em] \quad &+ \frac{8}{\pi} \\[0.8em] \quad &+ 2 \cdot \ln\left( \frac{6}{2} \right) \\[0.8em] = \quad &\frac{e^{8} - 1}{2e^{16}} + \frac{8}{\pi} + 2\ln{3} \end{align*}\]

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