Lösung - Aufgabe 3

Gegeben sind die jeweils in \(\mathbb R\) definierten Funktionenscharen \(f_{a} \colon x \mapsto x(a^{2} - x^{2})\) und \(g_{a} \colon x \mapsto x(x - a)^{2}\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters \(a\) den Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen.

b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)?

a) Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen

 

\[f_{a}(x) = x(a^{2} - x^{2}); \; D_{f_{a}} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\]

\[g_{a}(x) = x(x - a)^{2}; \; D_{g_{a}} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\]

 

Für die Berechnung des Flächeninhalts \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen, wird über die Differenzfunktion \(f_{a}(x) - g_{a}(x)\) (oder \(g_{a}(x) - f_{a}(x)\)) integriert. Um ein im Sachzusammenhang sinnvolles positives Ergebnis zu erhalten, wird der Betrag des Integrals gewählt. Die Stellen gemeinsamer Punkte der Graphen liefern die Integrationsgrenzen.

 

Differenzfunktion \(f_{a}(x) - g_{a}(x)\) formulieren:

 

\(\begin{align*}f_{a}(x) - g_{a}(x) &= x(a^{2} - x^{2}) - x\underbrace{(x - a)^{2}}_{\large{(a\,-\,b)^{2}}} & &| \; \text{2. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] &= a^{2}x - x^{3} - x(\underbrace{x^{2} - 2ax + a^{2}}_{\large{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}}}) \\[0.8em] &= a^{2}x - x^{3} -x^{3} + 2ax^{2} - a^{2}x \\[0.8em] &= -2x^{3} + 2ax^{2} \end{align*}\)

 

Stellen gemeinsamer Punkte der Graphen der Funktionenscharen \(f_{a}\) und \(g_{a}\) berechnen:

Die Stellen gemeinsamer Punkte der Graphen der Funktionen \(f_{a}\) und \(g_{a}\) sind die Nullstellen der Differenzfunktion \(f_{a}(x) - g_{a}(x)\).

 

\[\begin{align*} f_{a}(x) &= g_{a}(x) & &| - g_{a}(x) \\[0.8em] f_{a}(x) - g_{a}(x) &= 0 \\[0.8em] -2x^{3} + 2ax^{2} &= 0 \\[0.8em] 2x^{2}(-x + a) &= 0  \end{align*}\]

 

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 2x^{2} &= 0   & &\vee & -x + a &= 0 & &| + x \\[0.8em] x &= 0 & & & a &= x \end{align*}\]

 

Die doppelte Nullstelle \(x_{1} = 0\) bedeutet, dass sich die Graphen der Funktionen \(f_{a}\) und \(g_{a}\) unabhängig vom Wert des Parameters \(a\) an der Stelle \(x_{1} = 0\) berühren. Die einfache Nullstelle \(x_{2} = a\) bedeutet, dass sich die Graphen abhängig vom Wert des Parameters \(a\) an der Stelle \(x_{2} = a\) schneiden.

Die Integrationsgrenzen lauten also \(0\) und \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).

Damit lässt sich der Flächeninhalt \(A(a)\) wie folgt beschreiben:

\[\begin{align*} A(a) &= \left| \int_{0}^{a} \left[ f_{a}(x) - g_{a}(x) \right] dx \right| \\[0.8em] &= \left| \int_{0}^{a} \left( -2x^{3} +2ax^{2} \right) dx \right| \\[0.8em] &= 2 \cdot \left| \int_{0}^{a} \left( -x^{3} + ax^{2} \right) dx \right| \end{align*}\]

 

Für die Bestimmung des Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{a} \left( -x^{3} + ax^{2} \right) dx\) in Abhängigkeit des Parameters \(a\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto -x^{3} + ax^{2}\) benötigt. Diese lässt sich mithilfe des unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\) finden.

\[\begin{align*}\int \left( -x^{3} + ax^{2} \right) dx &= -\frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + a \cdot \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1}  + C \\[0.8em] &= -\frac{1}{4}x^{4} + \frac{a}{3}x^{3} + C \end{align*}\]

 

Die Funktion \(x \mapsto -\dfrac{1}{4}x^{4} + \dfrac{a}{3}x^{3}\) ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto -x^{3} + ax^{2}\) (für \(C = 0\)).

 

Flächeninhalt \(A(a)\) bestimmen:

\[\begin{align*} A(a) &= 2 \cdot \left| \int_{0}^{a} \left( -x^{3} + ax^{2} \right) dx \right| \\[0.8em] &= 2 \cdot \left| \left[  -\frac{1}{4}x^{4} + \frac{a}{3}x^{3}\right]_{0}^{a} \right| \\[0.8em] &= 2 \cdot \left| \left[ -\frac{1}{4}a^{4} + \frac{a}{3} \cdot a^{3} - \left( -\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{a}{3} \cdot 0^{3} \right) \right] \right| \\[0.8em] &= 2 \cdot \left| \left( -\frac{1}{4}a^{4} + \frac{1}{3} \cdot a^{4} - 0 \right) \right| \\[0.8em] &= \left| -\frac{1}{2}a^{4} + \frac{2}{3}a^{4} \right| \\[0.8em] &= \left| -\frac{3}{6}a^{4} + \frac{4}{6}a^{4} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6}a^{4} \end{align*}\]

 

Die Graphen der Funktionenscharen \(f_{a}\) und \(g_{a}\) begrenzen ein Flächenstück, dessen Flächeninhalt sich in Abhängigkeit des Parameters \(a\) mit \(\frac{1}{6}a^{4}\) FE (Flächeneinheiten) angeben lässt. 

 

b) Wert des Parameters \(a\), sodass der Flächeninhalt 13,5 FE beträgt

Es ist die Gleichung \(A(a) = 13{,}5\) zu lösen.

 

\[\begin{align*} A(a) &= 13{,}5 \\[0.8em] \frac{1}{6}a^{4} &= 13{,}5 & &| \cdot 6 \\[0.8em] a^{4} &= 81 & &| \; \sqrt[4]{\quad} \enspace a \in \mathbb R^{+} \\[0.8em] a &= 3 \end{align*}\]

 

Die Graphen der Scharfunktionen \(f_{3} \colon x \mapsto x(9 - x^{2})\) und \(g_{3} \colon x \mapsto x(x - 3)^{2}\) (vgl. Angabe) begrenzen für \(x \in [0;3]\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt 13,5 FE.

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