Lösung - Aufgabe 1

Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)

b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)

a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)

Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\) gibt die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(x \mapsto  5x^{2} \cdot e^{x^{3}}\) an. Es kann mithilfe des unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\) sowie der Faktorregel bestimmt werden. Hierfür wird die Integrandenfunktion zunächst entsprechend umformuliert.

\[\begin{align*}\int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx &= \int \frac{5}{3} \cdot \underbrace{3x^{2}}_{\large{f'(x)}} \cdot e^{\overbrace{x^{3}}^{\large{f(x)}}} \\[0.8em] &= \frac{5}{3} \cdot e^{x^{3}} + C \end{align*}\]

 

b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)

Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\) gibt die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(x \mapsto \dfrac{2}{3}x \cdot \dfrac{2}{x^{2} + 2}\) an. Es lässt sich mithilfe des unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\) sowie der Faktorregel bestimmen. Vorab wird die Integrandenfunktion entsprechend umformuliert.

\[\begin{align*} \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx &= \int \frac{2}{3} \cdot \frac{\overbrace{2x}^{\large{f'(x)}}}{\underbrace{x^{2} + 2}_{\large{f(x)}}} dx \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot \ln{\vert x^{2} + 2 \vert} + C \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Aufgaben Lösung - Aufgabe 2 »