a) Nullstellen und Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs von \(f\)
\[f(x) = \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\]
Nullstelle(n) der Funktion \(f\)
\[\begin{align*}f(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{2}x \cdot \underbrace{e^{1 - x}}_{>\,0} &= 0 \end{align*}\]
Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Der natürliche Exponentialterm \(e^{1 - x}\) ist für \(x \in \mathbb R\) stets größer als Null (vgl. ABITUR SKRIPT 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion).
Es verbleibt \(x = 0\) als einzige Nullstelle der Funktion \(f\).
Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs
Weder der lineare Term \(\frac{1}{2}x\) noch der natürliche Exponentialterm \(e^{1 - x}\) schränkt den Definitionsbereich von \(f\) ein. Die Funktion \(f\) ist also in \(\mathbb R\) definiert und es ist das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) zu untersuchen.
\[D_{f} = \mathbb R = \; ]-\infty;+\infty[\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{\frac{1}{2}x}_{\to\,-\infty} \cdot \underbrace{e^{1 - x}}_{\to\,+\infty} = -\infty\]
Wichtiger Grenzwert
Wichtiger Grenzwert
\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \frac{x^r}{e^x} = 0 \enspace (r > 0)\]
Für \(\,x \to +\infty\,\) wächst \(e^x\) „schneller" als jede Potenz \(x^r \enspace (r > 0)\).
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \underbrace{\frac{1}{2}x}_{\to\,+\infty} \cdot \underbrace{e^{1 - x}}_{\to\,0} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \; \text{hier:}\; e^{-(x - 1)} = \frac{1}{e^{x - 1}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\overbrace{\frac{1}{2}x}^{\to\,+\infty}}{\underbrace{e^{x - 1}}_{\to\,+\infty}} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
Unter Berücksichtigung des wichtigen Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \dfrac{x^{r}}{e^{x}} = 0; \;(r > 0)\) ergibt sich \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = 0\). Der natürliche Exponentialterm \(e^{x - 1}\) wächst für \(x \to +\infty\) „schneller" als der lineare Term \(\frac{1}{2}x\).
b) Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\)
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\) lautet (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte):
Extrempunkte
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = 0\]
Erste Ableitung \(f'\) von \(f\) bilden:
Die Funktion \(f\) lässt sich mithilfe der Produktregel und der Kettenregel sowie der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bzw. einer Potenzfunktion ableiten. Für die anschließende Untersuchung der Nullstellen von \(f'\) ist es zweckmäßig, den Funktionsterm \(f'(x)\) als Produkt zu formulieren (Ausklammern des Exponentialterms).
\[f(x) = \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}; \; D_{f} = \mathbb R\]
Ableitungsregeln
Ableitung einer Potenzfunktion
\[ f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Kettenregel
\[ f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot e^{1 - x} + \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x} \cdot (-1) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}e^{1 - x} - \frac{1}{2}xe^{1 - x} & &| \; \frac{1}{2}e^{1 - x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x) \end{align*}\]
Nullstelle von \(f'\) bestimmen:
\[f'(x) = \underbrace{\frac{1}{2}e^{1 - x}}_{>\,0}(1 - x)\]
Da der natürliche Exponentialterm \(\frac{1}{2}e^{1 - x}\) für \(x \in \mathbb R\) stets größer als Null ist (vgl. ABITUR SKRIPT 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion), besitzt \(f'(x)\) die einzige Nullstelle \(x = 1\).
\[\begin{align*}f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 1 - x &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] 1 = x \end{align*}\]
An der Stelle \(x = 1\) besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, welche auf einen Extrempunkt hinweist. Die in Teilaufgabe a ermittelten Grenzwerte \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty } f(x) = 0\) bestätigen den Hinweis und deuten auf ein globales Maximum von \(f\) an der Stelle \(x = 1\) hin.
Art des Extrempunkts nachweisen:
Da in Teilaufgabe c für die Bestimmung des Krümmungsverhaltens die zweite Ableitung \(f''\) benötigt wird, ist es sinnvoll, den Nachweis der Art des Extrempunkts mithilfe von \(f''(1)\) zu führen. Ein Nachweis mithilfe des Monotoniekriteriums (einer Monotonietabelle) ist ebenso möglich.
1. Möglichkeit: Nachweis der Art des Extrempunkts mithilfe der zweiten Ableitung
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
Zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) bilden:
Die zweite Ableitung \(f''\) wird wiederum mithilfe der Produktregel und der Kettenregel sowie der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bzw. einer Potenzfunktion gebildet.
\[f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\]
Ableitungsregeln
Ableitung einer Potenzfunktion
\[ f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Kettenregel
\[ f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f''(x) &= \frac{1}{2}e^{1 - x} \cdot (-1) \cdot (1 - x) + \frac{1}{2}e^{1 - x} \cdot (-1) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}e^{1 - x} (x - 1) - \frac{1}{2}e^{1 - x} & &| \; \frac{1}{2}e^{1 - x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2) \end{align*}\]
Das Vorzeichen des Funktionswerts \(f''(1)\) bestimmt die Art des Extrempunkts von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\).
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
\[f''(1) = \frac{1}{2}e^{1 - 1}(1 - 2) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-1) = -\frac{1}{2}\]
\[\left. \begin{align*} &f'(1) = 0 \\[0.8em] &f''(1) < 0 \end{align*} \right\}\enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}\;HoP(1|f(1))\]
2. Möglichkeit: Nachweis der Art des Extrempunkt mithilfe des Monotoniekriteriums bzw. einer Monotonietabelle
Monotoniekriterium
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = \underbrace{\frac{1}{2}e^{1 - x}}_{>\,0}(1 - x)\]
Der Faktor \((1 - x)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\) und damit das Monotonieverhalten in der Umgebung der Stelle \(x = 1\).
\[\left. \begin{align*}&f'(x) > 0 \; \text{für} \; x < 1 \\[0.8em] &f'(1) = 0 \\[0.8em] &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x > 1 \end{align*} \right\}\enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}\;HoP(1|f(1))\]
Veranschaulichung mit einer Monotonietabelle:
\(x\) |
\(x < 1\) |
\(x = 1\) |
\(x > 1\) |
\(\frac{1}{2}e^{x - 1}\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
\((1 - x)\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
\(f'(x)\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
\(G_{f}\) |
\(\nearrow\) |
\(HoP(1|f(1))\) |
\(\searrow\) |
\(y\)-Koordinate des Hochpunkts berechnen:
\[f(x) = \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot e^{1 - 1} = \frac{1}{2}\]
\[\Longrightarrow \quad HoP\Big(1\Big| \textstyle{\frac{1}{2}}\Big)\]
c) Krümmungsverhalten von \(G_{f}\), Koordinaten des Wendepunkts und Gleichung der Wendetangente \(w\)
Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und Koordinaten des Wendepunkts
(vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte)
Krümmungsverhalten
Anwendung der Differentialrechnung:
Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.
\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.
(vgl. Merkhilfe)
Die zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) ist aus Teilaufgabe b bereits bekannt.
\[f''(x) = \underbrace{\frac{1}{2}e^{1 - x}}_{> \, 0}(x - 2)\]
Der Faktor \((x - 2)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f''(x)\).
Für \(x < 2\) gilt \(f''(x) < 0\). Folglich ist \(G_{f}\) für \(x < 2\) rechtsgekrümmt.
Für \(x > 2\) gilt \(f''(x) > 0\). Folglich ist \(G_{f}\) für \(x > 2\) linksgekrümmt.
Zudem gilt \(f''(2) = 0\). Da \(f''\) in der Umgebung der Stelle \(x = 2\) das Vorzeichen wechselt, hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\) einen Wendepunkt.
Wendepunkt
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
\[\left. \begin{align*}&f''(x) < 0 \; \text{für} \; x < 2 \\[0.8em] &f''(2) = 0 \\[0.8em] &f''(x) > 0 \; \text{für} \; x > 2 \end{align*} \right\}\enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkt}\;W(2|f(2))\]
Veranschaulichung mit einer Krümmungstabelle:
\(x\) |
\(x < 2\) |
\(x = 2\) |
\(x > 2\) |
\(\frac{1}{2}e^{x - 1}\) |
\(+\) |
\(+\) |
\(+\) |
\((x - 2)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(f''(x)\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(G_{f}\) |
\(\Large \curvearrowright\) |
\(W(2|f(2))\) |
\(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\) |
\(y\)-Koordinate des Wendepunkts berechnen:
\[f(x) = \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}; \; D_{f} = \mathbb R\]
\[f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot e^{1 - 2} = e^{-1} = \frac{1}{e}\]
\[\Longrightarrow \quad W\Big(2\Big| \textstyle{\frac{1}{e}}\Big)\]
Gleichung der Wendetangente \(w\)
Der Ansatz für die Gleichung der Wendetangente \(w\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen.
1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[w \colon y = m_{w} \cdot x + t\]
Die erste Ableitung \(f'\) an der Wendestelle \(x = 2\) beschreibt die Steigung \(m_{w}\) der Wendetangente \(w\).
Tangentensteigung
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\) (vgl. Teilaufgabe b)
\[\begin{align*} m_{w} &= f'(2) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}e^{1 - 2}(1 - 2) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}e^{-1} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2e} \end{align*}\]
Damit ergibt sich die Gleichung der Wendetangente \(w\) zu:
\[w \colon y = -\frac{1}{2e}x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) bestimmen:
Die Wendetangente \(w\) verläuft durch den Wendepunkt \(W\Big(2\Big| \textstyle{\frac{1}{e}}\Big)\). Setz man die Koordinaten von \(W\) in die Gleichung der Wendetangente \(w\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen.
\[\begin{align*}W \in w\colon \frac{1}{e} &= -\frac{1}{2e} \cdot 2 + t \\[0.8em] \frac{1}{e} &= -\frac{1}{e} + t & &| + \frac{1}{e} \\[0.8em] \frac{2}{e} &= t \end{align*}\]
Gleichung der Wendetangente \(w\) angeben:
\[w \colon y = -\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e}\]
2. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\(W\Big(2\Big| \textstyle{\frac{1}{e}}\Big)\)
\[w \colon y = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2)\]
Mit \(f'(2) = -\frac{1}{2e}\) und \(f(2) = \frac{1}{e}\) (vgl. 1. Lösungsansatz) folgt:
\[\begin{align*}w \colon y &= f'(2) \cdot (x - 2) + f(2) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2e} \cdot (x - 2) + \frac{1}{e} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2e}x + \frac{1}{e} + \frac{1}{e} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e} \end{align*}\]
d) Skizze von \(G_{f}\) und der Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse
Bisherige Ergebnisse:
- \(x = 0\) ist einzige Nullstelle von \(f\).
- \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = -\infty; \; \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = 0\)
- \(G_{f}\) besitzt den Hochpunkt \(HoP\Big(1\Big| \textstyle{\frac{1}{2}}\Big)\).
- \(G_{f}\) besitzt den Wendepunkt \(W\Big(2\Big| \textstyle{\frac{1}{e}}\Big)\).
- Die Gleichung der Wendetangente \(w\) lautet: \(w \colon y = -\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e}\).
Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\) mit Hochpunkt \(HoP\Big(1\Big| \textstyle{\frac{1}{2}}\Big)\), Wendepunkt \(W\Big(2\Big| \textstyle{\frac{1}{e}}\Big)\) und Wendetangente \(w \colon y = -\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e}\)
e) Nachweis, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion von \(f\) ist
Gemäß der Definition einer Stammfunktion muss \(F'(x) = f(x)\) gelten.
Stammfunktion
Stammfunktion
Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn
\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)
gilt.
\(F(x) = -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\)
\(f(x) = \frac{1}{2}xe^{1 - x}; \; D_{f} = \mathbb R\)
Die Funktion \(F\) lässt sich unter Anwendung der Produktregel, der Kettenregel, der Summen- und der Faktorregel sowie der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bzw. einer Potenzfunktion ableiten.
Ableitungsregeln
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}F'(x) &= -\frac{1}{2}\left[ e^{1 - x} \cdot (-1) \cdot (x + 1) + e^{1 - x} \cdot (1 + 0) \right]\\[0.8em] &= -\frac{1}{2}\left[ e^{1 - x} \cdot (-x - 1) + e^{1 - x} \right] & &| \; e^{1 - x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \left( -x - 1 + 1 \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}e^{1 - x} \cdot (-x) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}xe^{1 - x} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]
Also ist die Funktion \(F \colon x \mapsto -\dfrac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{2}xe^{1 - x}\).
f) Schraffieren des Flächenstücks mit dem Flächeninhalt \(A\) und Berechnung des Flächeninhalts \(A\)
Schraffieren des Flächenstücks mit dem Flächeninhalt \(A\)
Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\), das der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) im ersten Quadranten einschließen.
Berechnung des Flächeninhalts \(A\)
1. Möglichkeit: Flächeninhalt eines Trapezes mit einbeziehen
Flächeninhalte der Flächenstücke, welche die Wendetangente \(w\) bzw. der Graph der Funktion \(f\) im Intervall \([0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließen.
Die Wendetangente \(w\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(\Big( 0 \Big| \textstyle \frac{2}{e} \Big)\) (vgl. Teilaufgabe c, \(y\)-Achsenabschnitt der Gleichung der Wendetangente). Der Wendepunkt \(W\Big(2\Big| \textstyle{\frac{1}{e}}\Big)\) ist gemeinsamer Punkt von \(G_{f}\) und der Wendetangente \(w\).
Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das die Wendetangente im Intervall \([0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt lässt sich mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes berechnen.
Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx\) errechnet die Maßzahl des Flächeninhalts des Flächenstücks, das \(G_{f}\) im Intervall \([0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
Der gesuchte Flächeninhalt \(A\) lässt sich mithilfe der Differenz der beiden Flächeninhalte ermitteln.
\[A = A_{Trapez} - \int_{0}^{2} f(x) dx\]
Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx\) wird die Stammfunktion \(F\) aus Teilaufgabe e verwendet.
\(F(x) = -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\)
Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*}A &= A_{Trapez} - \int_{0}^{2} f(x) dx \\[0.8em] &= \frac{\frac{2}{e} + \frac{1}{e}}{2} \cdot 2 - \int_{0}^{2} \frac{1}{2}xe^{1 - x} dx \\[0.8em] &= \frac{3}{e} - \left[ -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1) \right]_{0}^{2} \\[0.8em] &= \frac{3}{e} - \left[ -\frac{1}{2}e^{1 - 2}(2 + 1) - \left( -\frac{1}{2}e^{1 - 0}(0 + 1) \right) \right] \\[0.8em] &= \frac{3}{e} + \frac{3}{2e} - \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \frac{6}{2e} + \frac{3}{2e} - \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \frac{9}{2e} - \frac{e}{2} \\[0.8em] &\approx 0{,}30 \end{align*}\]
Der Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) im ersten Quadranten einschließen beträgt ca 0,30 FE (Flächeneinheiten).
2. Möglichkeit: Differenzfunktion integrieren
\(w(x) = -\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e}\) (vgl. Teilaufgabe c, Gleichung der Wendetangente \(w\))
\(f(x) = \frac{1}{2}xe^{1 - x}\)
Aus der in Teilaufgabe d angefertigten Skizze geht hervor, dass die Wendetangente \(w\) im Intervall \([0;2]\) stets oberhalb des Graphen \(G_{f}\) verläuft.
Der Flächeninhalt \(A\) kann durch Integration der Differenzfunktion \(w(x) - f(x)\) bestimmt werden (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.4 Flächenberechnung, Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen ).
\[A = \int_{0}^{2} (w(x) - f(x))dx\]
Da aus Teilaufgabe e bereits die Stammfunktion \(F(x) = -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) von \(f\) bekannt ist, empfiehlt es sich, die Summenregel anzuwenden.
Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[A = \int_{0}^{2} (w(x) - f(x))dx = \int_{0}^{2} w(x) dx - \int_{0}^{2} f(x) dx\]
Mithilfe des unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\) wird eine Stammfunktion \(W\) der Funktion \(w\) ermittelt.
\[\begin{align*}\int \left(-\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e}\right)dx &= -\frac{1}{2e} \cdot \frac{1}{2}x^{2} + \frac{2}{e}x + C \\[0.8em] &= -\frac{1}{4e}x^{2} + \frac{2}{e}x + C \end{align*}\]
Mit \(C = 0\) ist die Funktion \(W \colon x \mapsto -\frac{1}{4e}x^{2} + \frac{2}{e}x\) eine Stammfunktion der Funktion \(w \colon x \mapsto -\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e}\).
Damit lässt sich der Flächeninhalt \(A\) wie folgt berechnen:
Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*}A &= \int_{0}^{2} (w(x) - f(x))dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{2} w(x) dx - \int_{0}^{2} f(x) dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{2} \left( -\frac{1}{2e}x + \frac{2}{e} \right) dx - \int_{0}^{2} \frac{1}{2}e^{1 - x} dx \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{4e}x^{2} + \frac{2}{e}x \right]_{0}^{2} - \left[ -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1) \right]_{0}^{2} \\[0.8em] &= -\frac{1}{4e} \cdot 2^{2} + \frac{2}{e} \cdot 2 - \left( -\frac{1}{4e} \cdot 0^{2} + \frac{2}{e} \cdot 0 \right) - \left[ -\frac{1}{2}e^{1 - 2}(2 + 1) - \left( -\frac{1}{2}e^{1 - 0}(0 + 1) \right) \right] \\[0.8em] &= -\frac{1}{e} + \frac{4}{e} + \frac{3}{2e} - \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \frac{3}{e} + \frac{3}{2e} - \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \frac{6}{2e} + \frac{3}{2e} - \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \frac{9}{2e} - \frac{e}{2} \\[0.8em] &\approx 0{,}30 \end{align*}\]
Der Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) im ersten Quadranten einschließen beträgt ca 0,30 FE (Flächeneinheiten).
g) Berechnung des Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geometrische Bedeutung des Ergebnisses
Für die Berechnung des uneigentlichen Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) wird dieses zunächst mithilfe der variablen oberen Integragtionsgrenze \(z\) integralfrei beschrieben und anschließend die Grenzwertbetrachtung für \(z \to +\infty\) durchgeführt (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.5 Uneigentliches Integrall).
\[\int_{0}^{+\infty} f(x) dx = \lim \limits_{z\, \to\, +\infty} \int_{0}^{z} f(x) dx\]
Integralfreie Darstellung des Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{z} f(x) dx\):
Für die integralfreie Darstellung des Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{z} f(x) dx\) (Integralfunktion) wird die Stammfunktion \(F\) aus Teilaufgabe e verwendet.
\(F(x) = -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\)
Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion
Integralfreie Darstellung einer Integralfunktion
Es gilt:
\(\displaystyle I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F(x) - F(a)\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
\[\begin{align*}\int_{0}^{z} f(x) dx &= \int_{0}^{z} \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x} dx \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1) \right]_{0}^{z} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}e^{1 - z}(z + 1) - \left[ -\frac{1}{2}e^{1 - 0}(0 + 1) \right] \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}e^{1 - z}(z + 1) + \frac{e}{2} \end{align*}\]
Grenzwertbetrachtung für \(z \to +\infty\) durchführen (vgl. ABITUR SKRIPT 1.4 Grenzwerte):
Wichtiger Grenzwert
Wichtiger Grenzwert
\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \frac{x^r}{e^x} = 0 \enspace (r > 0)\]
Für \(\,x \to +\infty\,\) wächst \(e^x\) „schneller" als jede Potenz \(x^r \enspace (r > 0)\).
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\lim \limits_{z\,\to\,+\infty} \left(-\frac{1}{2}e^{1 - z}(z + 1) + \frac{e}{2} \right) &= \lim \limits_{z\,\to\,+\infty} -\frac{1}{2}e^{1 - z}(z + 1) + \lim \limits_{z\,\to\,+\infty} \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \lim \limits_{z\,\to\,+\infty} -\frac{1}{2}e^{1 - z}(z + 1) + \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \lim \limits_{z\,\to\,+\infty} -\frac{1}{2}e^{-(z - 1)}(z + 1) + \frac{e}{2} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{z\,\to\,+\infty} \underbrace{-\frac{z + 1}{2e^{z - 1}}}_{\to\,0} + \frac{e}{2} \\[0.8em] &= \frac{e}{2} \end{align*}\]
Für \(z \to +\infty\) wächst der Exponentialterm \(2e^{z - 1}\) „schneller" als der lineare Term \(z + 1\).
Geometrische Bedeutung des Ergebnisses \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx = \frac{e}{2}\):
Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das der Graph \(G_{f}\) im Intervall \([0;+\infty[\) mit der \(x\)-Achse einschließt, ist mit \(\frac{e}{2}\) FE (Flächeneinheiten) endlich.