Lösung - Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!).

Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\) so, dass diese mit \(F(x)\) übereinstimmt.

\[f(x) = 1 - (\ln{x})^{2}\]

\[F(x) = x(\ln{x} - 1)^{2}\]

\[I(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt; \;D_{I} = \mathbb R^{+}, \; a \in \mathbb R^{+}\]

 

Gesucht ist derjenige Wert der unteren Integrationsgrenze \(a\) der Integralfunktion \(I\), sodass \(\displaystyle I(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt = F(x)\) gilt.

Zunächst wird die Integralfunktion \(I\) in Abhängigkeit der unteren Integrationsgrenze \(a\) integralfrei beschrieben. Hierfür wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f\) benötigt. Diese ist mit der Stammfunktion \(F\) gegeben. Ein Vergleich der integralfreien Darstellung mit dem Funktionsterm \(F(x)\) liefert den Ansatz für die Bestimmung von \(a\).

\[\begin{align*}I(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt &= F(x) - F(a) \\[0.8em] &= x(\ln{x} - 1)^{2} - a(\ln{a} - 1)^{2} \end{align*}\]

 

Es soll \(I(x) = F(x)\) gelten.

 

\[\begin{align*} I(x) &= F(x) \\[0.8em] x(\ln{x} - 1)^{2} - a(\ln{a} - 1)^{2} &= x(\ln{x} - 1)^{2} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad a(\ln{a} - 1)^{2} = 0\]

 

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad a = 0 \enspace \vee \enspace \ln{a} - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] \ln{a} &= 1 & &| \; \log_{a}{a} = 1;\; \text{hier:}\; \ln{e} = 1 \\[0.8em] a &= e \end{align*}\]

 

MIt \(a \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Angabe) kommt nur \(a = e\) als Lösung in Frage.

 

Für \(a = e\) gilt: \(\displaystyle I(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt = F(x)\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 2 Lösung - Aufgabe 4 »