Lösung - Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).

a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Geraden liegen.

b) Eine Gleichung der Geraden \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].

a) Untersuchung, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Geraden liegen

Je zwei der drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) legen einen Gerade fest. Eine Punktprobe des dritten Punktes untersucht, ob dieser ebenfalls auf der Geraden liegt.

Beispielsweise legen die Punkte \(A\) und \(B\) die Gerade \(AB\) fest. Mit Punkt \(A\) als Aufpunkt und dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) als möglichen Richtungsvektor ergibt sich folgende Geradengleichung (vgl. ABITUR SKRIPT 2.2.1 Geradengleichung in Parameterform):

\[AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) berechnen:

\(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Eine Gleichung der Geraden \(AB\) lautet somit:

 

\[AB \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Punktprobe \(C \in AB\) durchführen:

Hierfür wird der Ortsvektor \(\overrightarrow{C}\) des Punkte \(C\) und der Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung der Geraden \(AB\) gleichgesetzt. Liest man die Vektorgleichung zeilenweise, ergibt sich ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer zu bestimmenden Unbekannten, dem Parameter \(\lambda\).

Der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden \(AB\), wenn das lineare Gleichungssystem für den Parameter \(\lambda\) eine eindeutige Lösung liefert. Andernfalls liegt der Punkt \(C\) nicht auf der Geraden \(AB\).

 

\(C(3|2|1)\)

\[AB \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{C} &= \overrightarrow{X} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Lineares Gleichungssystem formulieren:

 

\[\Longrightarrow \quad \begin{cases} 3 = -2 + 3\lambda \quad \Longleftrightarrow \quad \enspace \: 5 = 3\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{5}{3} \\[0.8em] 2 = -1 + 7\lambda \quad \Longleftrightarrow \quad \enspace \: 3 = 7\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{3}{7} \\[0.8em] 1 = \enspace \: 4 + \enspace \lambda \quad \Longleftrightarrow \quad -3 = \enspace \lambda \end{cases}\]

 

Da sich keine eideutige Lösung für \(\lambda\) ergibt, liegt der Punkt \(C\) nicht auf der Geraden \(AB\). Folglich liegen die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) nicht auf einer Geraden.

 

b) Gleichung der Strecke [AB]

Veranschaulichung der Lage eines Punktes X auf einer Gerade durch die Punkte A und B in Abhängigkeit des Wertes des Parameters λ

Die Lage eines Punktes \(X\) auf der Geraden \(AB\) hängt vom Wert des Parameters \(\lambda\) ab. Für \(0 \leq \lambda \leq 1\) liegt ein Punkt \(X\) auf der Strecke \([AB]\).

Ausgehend von der Geradengleichung \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\) lässt sich eine Gleichung der Strecke \([AB]\) also durch eine geeignete Einschränkung der Werte für den Parameter \(\lambda\) beschreiben.

 

\[[AB] \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; 0 \leq \lambda \leq 1\]

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