Lösung - Aufgabe 1

Abbildung Aufgabe 1 Klausur Q12/1-003 A1, Graphen der Funktionen f und g

Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\).

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche.

b) Geben Sie ohne weitere Rechnung den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) an und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung durch geeignete Eintragungen.

a) Berechnung des Flächeninhalts \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche

Flächeninhalte A₁ und A₂ der Teilflächen zwischen den Graphen der Funktionen f und g

Die Abbildung zeigt, dass sich die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) an den Stellen \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) schneiden.

Für die Berechnung des Flächeninhalts \(A\) werden die Flächeninhalte \(A_{1}\) und \(A_{2}\) der Teilflächen in den Intervallen \([x_{1};x_{2}]\) und \([x_{2};x_{3}]\) addiert. Hierfür wird über die Differenzfunktion \(f(x) - g(x)\) bzw. \(g(x) - f(x)\) integriert, wobei die Schnittstellen \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) die Intergrationsgrenzen bilden..

Um jeweils einen positiven Wert für den Flächeninhalt der Teilflächen zu erhalten, wählt man den Betrag der Integrale. Eine Berücksichtigung, ob \(G_{f}\) oberhalb \(G_{g}\) verläuft oder umgekehrt, kann somit entfallen.

 

\[\begin{align*} A &= A_{1} + A_{2} \\[0.8em] &= \int_{x_{1}}^{x_{2}} \Big[\underbrace{f(x) - g(x)}_{\large{f(x) \,>\, g(x)}}\Big] dx + \int_{x_{2}}^{x_{3}} \Big[\underbrace{g(x) - f(x)}_{\large{g(x) \,>\, f(x)}} \Big] dx \\[0.8em] &= \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}} \left[ f(x) - g(x) \right] dx \right| + \left| \int_{x_{2}}^{x_{3}} \left[ f(x) - g(x) \right] dx \right| \end{align*}\]

 

Schnittstellen der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) berechnen:

Für die Berechnung der Schnittstellen von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) werden die Funktionsterme \(f(x)\) und \(g(x)\) gleichgesetzt.

 

\[f(x) = \frac{1}{4}x^{3} - 4x; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g(x) = \frac{1}{4}x^{2} - x; \; D_{g} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} f(x) &= g(x) \\[0.8em] \frac{1}{4}x^{3} - 4x &= \frac{1}{4}x^{2} - x &&| -\frac{1}{4}x^{2} + x \\[0.8em] \frac{1}{4}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} - 3x &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{4}x\left( x^{2} - x - 12 \right) &= 0 \end{align*}\]

 

Satz vom Nullsprodukt:

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[\Longrightarrow \quad x_{1} = 0 \enspace \vee \enspace x^{2} - x - 12 = 0\]

 

Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden:

\[\begin{align*} x_{2,3} &= \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{1 \pm 7}{2}\end{align*}\]

 

\[x_{2} = -3; \; x_{3} = 4\]

 

Die Schnittstellen der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) sind \(x_{1} = -3\), \(x_{2} = 0\) und \(x_{3} = 4\) (aufsteigend sortiert und nummeriert).

 

Damit ergibt sich der Flächeninhalt \(A\) zu:

\[f(x) = \frac{1}{4}x^{3} - 4x; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g(x) = \frac{1}{4}x^{2} - x; \; D_{g} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} A &= \left| \int_{-3}^{0} \left[ f(x) - g(x) \right] dx \right| + \left| \int_{0}^{4} \left[ f(x) - g(x) \right] dx \right| \\[0.8em] &= \left| \int_{-3}^{0} \left[ \frac{1}{4}x^{3} - 4x - \left( \frac{1}{4}x^{2} - x \right) \right] dx \right| + \left| \int_{0}^{4} \left[ \frac{1}{4}x^{3} - 4x - \left( \frac{1}{4}x^{2} - x \right) \right] dx \right| \\[0.8em] &= \left| \int_{-3}^{0} \left( \frac{1}{4}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} - 3x \right) dx \right| + \left| \int_{0}^{4} \left( \frac{1}{4}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} - 3x \right) dx \right| \end{align*}\]

 

Für die Berechnung der bestimmten Integrale wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - \dfrac{1}{4}x^{2} - 3x\) benötigt. Die Menge aller Stammfunktionen ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \left( \frac{1}{4}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} - 3x \right) dx\).

Unter Anwendung des wichtigen unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\) ergibt sich:

\[\begin{align*}\int \left( \frac{1}{4}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} - 3x \right) dx &= \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} - 3 \cdot \frac{x^{2}}{2} + C \\[0.8em] &= \frac{1}{16}x^{4} - \frac{1}{12}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist die Funktion \(x \mapsto \dfrac{1}{16}x^{4} - \dfrac{1}{12}x^{3} - \dfrac{3}{2}x^{2}\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - \dfrac{1}{4}x^{2} - 3x\).

 

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

\[\begin{align*} A = \quad &\left| \int_{-3}^{0} \left( \frac{1}{4}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} - 3x \right) dx \right| + \left| \int_{0}^{4} \left( \frac{1}{4}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} - 3x \right) dx \right| \\[0.8em] = \quad &\left| \left[ \frac{1}{16}x^{4} - \frac{1}{12}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} \right]_{-3}^{0} \right| + \left| \left[ \frac{1}{16}x^{4} - \frac{1}{12}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} \right]_{0}^{4} \right| \\[0.8em] = \quad &\left| \frac{1}{16} \cdot 0^{4} - \frac{1}{12} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \left( \frac{1}{16} \cdot (-3)^{4} - \frac{1}{12} \cdot (-3)^{3} - \frac{3}{2} \cdot (-3)^{2} \right) \right| \\[0.8em] +\; &\left| \frac{1}{16} \cdot 4^{4} - \frac{1}{12} \cdot 4^{3} - \frac{3}{2} \cdot 4^{2} - \left( \frac{1}{16} \cdot 0^{4} - \frac{1}{12} \cdot 0^{3} - \frac{3}{2} \cdot 0^{2} \right) \right| \\[0.8em] = \quad &\left| 0 - \left( \frac{81}{16} - \left( -\frac{27}{12} \right) - \frac{27}{2} \right) \right| + \left| \frac{256}{16} - \frac{64}{12} - \frac{48}{2} - 0 \right| \\[0.8em] = \quad &\left| -\frac{99}{16} \right| + \left| -\frac{40}{3} \right| \\[0.8em] = \quad &\frac{99}{16} + \frac{40}{3} \\[0.8em] = \quad &\frac{937}{46} \\[0.8em] \approx \quad &19{,}52 \end{align*}\] 

 

Der Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche beträgt ca. 19,52 FE (Flächeneinheiten).

 

b) Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) und Veranschaulichung des Ergebnisses

 

\[\int_{-4}^{+4} f(x) dx = 0\]

 

Flächenbilanz der Flächenstücke, welche der Graph der Funktion f im Intervall [-4;+4] mit der x-Achse einschließt.

Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) lässt sich als Flächenbilanz der Flächenstücke interpretieren, welche \(G_{f}\) im Intervall \([-4;+4]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Die Abbildung zeigt, dass \(G_{f}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und im Intervall \([-4;+4]\) zwei flächengleiche Flächenstücke mit der \(x\)-Achse einschließt. Das im Intervall \([-4;0]\) oberhalb der \(x\)-Achse liegende Flächenstück zählt positiv und das im Intervall \([0;+4]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegende Flächenstück zählt negativ. Die Flächenbilanz der beiden Flächenstücke ist somit gleich Null.

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