Lösung - Aufgabe 2

Geben ist die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt\).

a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Integralfunktion \(I\) an.

b) Berechnen Sie eine integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\). Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) Maximaler Definitionsbereich der Integralfunktion \(I\)

 

\[I(x) = \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt\]

 

Die natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert.

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 3t - 2 &> 0 &&| + 2 \\[0.8em] 3t &> 2 &&| : 3 \\[0.8em] t &> \frac{2}{3} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{I} = \; \Big] \textstyle \frac{2}{3}; \infty \Big[\]

  

b) Integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\)

Für die integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(t \mapsto \ln{(3t - 2)}\) benötigt.

Das Unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \ln{(3t - 2)} dt\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(t \mapsto \ln{(3t - 2)}\).

Unter Anwendung der wichtigen unbestimmte Integrale

\(\displaystyle \int \ln x\;dx = -x + x \ln x + C\) und

\(\displaystyle \int f(ax + b)\;dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist,

ergibt sich:

\[\int \underbrace{\ln{(3t - 2)}}_{\Large{f(ax\,+\,b)}} dt = \underbrace{\frac{1}{3}}_{\Large{\frac{1}{a}}} \cdot \Big(\underbrace{-(\underbrace{3t - 2}_{\Large{ax\,+\,b}}) + (\underbrace{3t - 2}_{\Large{ax\,+\,b}})\ln{(\underbrace{3t - 2}_{\Large{ax\,+\,b}})}}_{\Large{F(ax\,+\,b})} \Big) + C\]

 

Für \(C = 0\) ist die Funktion \(t \mapsto \dfrac{1}{3} \cdot \left( -(3t - 2) + (3t - 2)\ln{(3t - 2)} \right)\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(t \mapsto \ln{(3t - 2)}\).

 

Damit lässt sich die Integralfunktion \(I\) wie folgt integralfrei formulieren:

\[\begin{align*} I(x) &= \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{3} \cdot \left( -(3t - 2) + (3t - 2)\ln{(3t - 2)} \right) \right]_{1}^{x} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ -(3t - 2) + (3t - 2)\ln{(3t - 2)} \right]_{1}^{x} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ -(3x - 2) + (3x - 2)\ln{(3x - 2)} - \left( -(3 \cdot 1 - 2) + (3 \cdot 1 - 2)\ln{(3 \cdot 1 - 2)} \right)  \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ -(3x - 2) + (3x - 2)\ln{(3x - 2)} + 1 + 1 \cdot \ln{1} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ -(3x - 2) + (3x - 2)\ln{(3x - 2)} + 1 \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ -3x + 3 + (3x - 2)\ln{(3x - 2)} \right] \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 1 Lösung - Aufgabe 3 »