Lösung - Aufgabe 4

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln.

a) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und geben Sie diese tabellarisch an.

c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\).

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der höchstens um die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

a) Vollständig ausgefülltes Baumdiagramm

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(W\): „Die entnommene Kugel ist Weiß."

\(R\): „Die entnommene Kugel ist Rot." 

 

Baumdiagramm: Aus einer Urne, in der sich 8 rote und 12 weiße Kugeln befinden werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

Im ersten Durchgang befinden sich 20 Kugeln in der Urne. Da die entnommene Kugel nicht zurückgelegt wird, befinden sich im zweiten Durchgang nur noch 19 Kugeln in der Urne.

Im ersten Durchgang gibt es 20 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten \((\vert \Omega \vert = 20)\) und im zweiten Durchgang gibt es 19 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten \((\vert \Omega \vert = 19)\), eine beliebige Kugel zu ziehen. Die Entnahme einer Kugel kann somit als Laplace-Experiment betrachtet werden (vgl. ABITUR SKRIPT 3.1.3 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit) und es gilt jeweils:

\[P(W) = \frac{\vert W \vert}{\vert \Omega \vert} \qquad P(R) = \frac{\vert R \vert}{\vert \Omega \vert}\]

 

b) Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) mit Tabelle

Baumdiagramm mit Ergebnissen ω und Werten X(ω) der Zufallsgröße X 

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugel und kann die Werte \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 1\) und \(x_{3} = 2\) annehmen.

Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert \(x_{i}\) annimmt, lassen sich mithilfe der Pfadregeln bestimmen.

Nach der ersten Pfadregel gilt:

 

\[P(X = 0) = P(W,W) = \frac{12}{20} \cdot \frac{11}{19} = \frac{132}{380}\]

\[P(X = 2) = P(R,R) = \frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19} = \frac{56}{380}\]

 

Nach der ersten und zweiten Pfadregel gilt:

 

\[\begin{align*}P(X = 1) &= P(W,R) + P(R,W) \\[0.8em] &= \underbrace{\underbrace{\frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19}}_{\large{\text{1. Pfadregel}}} + \underbrace{\frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19}}_{\large{\text{1. Pfadregel}}}}_{\large{\text{2. Pfadregel}}} \\[0.8em] &= \frac{96}{380} + \frac{96}{380} \\[0.8em] &= \frac{192}{380} \end{align*}\]

 

Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

\(X = x_{i}\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(P(X = x_{i})\) \(\dfrac{132}{380}\) \(\dfrac{192}{380}\) \(\dfrac{56}{380}\)

 

c) Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\)

(vgl. ABITUR SKRIPT 3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße)

 

Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\):

\[\begin{align*} \mu = E(X) &= x_{1} \cdot P(X = x_{1}) + x_{2} \cdot P(X = x_{2}) + x_{3} \cdot P(X = x_{3}) \\[0.8em] &= 0 \cdot \frac{132}{380} + 1 \cdot \frac{192}{380} + 2 \cdot \frac{56}{380} \\[0.8em] &= \frac{304}{380} \\[0.8em] &= 0{,}8 \end{align*}\]

 

Standardabweichung \(\sigma\) der Zufallsgröße \(X\):

Mit \(\sigma = \sqrt{Var(X)}\) wird zunächst die Varianz \(Var(X)\) der Zufallsgröße \(X\) berechnet.

\[\begin{align*} Var(X) &= (x_{1} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{1}) + (x_{2} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{2}) + (x_{3} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{3}) \\[0.8em] &= (0 - 0{,}8)^{2} \cdot \frac{132}{380} + (1 - 0{,}8)^{2} \cdot \frac{192}{380} + (2 - 0{,}8)^{2} \cdot \frac{56}{380} \\[0.8em] &= \frac{526}{2375} + \frac{48}{2375} + \frac{504}{2375} \\[0.8em] &= \frac{1078}{2375} \\[0.8em] &\approx 0{,}45 \end{align*}\]

 

\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{1078}{2375}} \approx 0{,}67\]

 

d) Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der höchstens um die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht

Der kleinste Wert, den die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann ist \(\mu - \sigma\) und der größte Wert ist \(\mu + \sigma\).

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit \(P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\).

 

Grenzen \(\mu - \sigma\) und \(\mu + \sigma\) berechnen:

\(\mu = 0{,}8\), \(\sigma = 0{,}67\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

\[\mu - \sigma = 0{,}8 - 0{,}67 = 0{,}13\]

\[\mu + \sigma = 0{,}8 + 0{,}67 = 1{,}47\]

 

Damit ergibt sich:

 

\(P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) = P(0{,}13 \leq X \leq 1{,}47)\) mit \(x_{i} = \{ 0;1;2\}\)

 

Da die Zufallsgröße \(X\) nur die Werte \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 1\) und \(x_{3} = 2\) annehmen kann, folgt:

 

\[\begin{align*} P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) &= P(0{,}13 \leq X \leq 1{,}47) \\[0.8em] &= P(X = 1) \\[0.8em] &= \frac{192}{380} \\[0.8em] &= \frac{48}{95} \\[0.8em] &\approx 0{,}51 \end{align*}\]

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