Lösung - Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen:

a) \(f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\)

c) \(h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\)

a) Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\)

 

\[f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\]

 

Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x) dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\) (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.2 Unbestimmtes Integral).

Zunächst wird die Wurzelfunktion \(f\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\) in der Potenzschreibweise formuliert.

Anschließend lassen sich die beiden wichtigen unbestimmte Integrale

\(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C\; (r \neq -1)\) und

\(\displaystyle \int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax +b) + C\) (wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist),

anwenden.

 

\[f(x) = 2\sqrt{3 - 2x} = 2 \cdot (3 - 2x)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (-2x + 3)^{\frac{1}{2}}\]

\[\begin{align*} \int f(x) dx &= \int 2 \cdot \underbrace{(-2x + 3)^{\frac{1}{2}}}_{\Large{f(ax\,+\,b)}} dx \\[0.8em] &= 2 \cdot \underbrace{\frac{1}{-2}}_{\Large{\frac{1}{a}}} \cdot \underbrace{\frac{(-2x + 3)^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}_{\Large{F(ax\,+\,b)}} + C \\[0.8em] &= -\frac{(-2x + 3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}(-2x + 3)^{\frac{3}{2}} + C &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}\sqrt{(-2x + 3)^{3}} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}\sqrt{(-2x + 3)(-2x + 3)^{2}} + C \\[0.8em] &= -\frac{2}{3}\sqrt{-2x + 3}(-2x + 3) + C \end{align*}\]

 

b) Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(g\)

 

\[g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\]

 

Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int g(x) dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(g\) (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.2 Unbestimmtes Integral).

Nach einer Umformung mithilfe der Rechenregel für Logarithmen \(\log_{a}(b^{n}) = n \cdot \log_{a}{b}\) kann das wichtige unbestimmte Integral \(\displaystyle \int ln{x} dx = -x + x\ln{x} + C\) angewendet werden.

 

\[g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)} = 2\ln{x}\]

\[\begin{align*} \int g(x) dx &= \int 2\ln{x}\,dx \\[0.8em] &= 2 \cdot (-x + x\ln{x}) + C \\[0.8em] &= -2x + 2x\ln{x} + C &&| n \log_{a}{b} = \log_{a}{b^{n}} \\[0.8em] &= -2x + x\ln{\left( x^{2} \right)} + C \\[0.8em] &=x\left[ \ln{\left( x^{2} \right)} - 2 \right] + C \end{align*}\]

 

c) Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(h\)

 

\[h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\]

 

Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int h(x) dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(h\) (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.2 Unbestimmtes Integral).

Für das Integrieren einer Produktfunktion in Verbindung mit der natürlichen Exponentialfunktion verweist die Merkhilfe auf das wichtige unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\). Um dieses anwenden zu können, wird der Funktionsterm \(h(x)\) zunächst entsprechend umgeformt.

 

\[h(x) = \frac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4} = \underbrace{\frac{1}{12} \cdot \underbrace{6x}_{\large{f'(x)}}}_{\Large{\frac{x}{2}}} \cdot e^{\overbrace{3x^{2} + 4}^{\Large{f(x)}}}\]

\[\begin{align*} \int h(x) dx &= \int \frac{1}{12} \cdot 6x \cdot e^{3x^{2} + 4} dx \\[0.8em] &= \frac{1}{12}e^{3x^{2} + 4} + C \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Bei Klausur- oder Abituraufgaben, welche das Integrieren einer Produkt- bzw. Quotientenfunktion erfordern, ist davon auszugehen, dass sich die Integrandenfunktion entweder

  • durch elementare Umformung vereinfachen lässt oder
  • eines der beiden wichtigen unbestimmten Integrale \(\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\) bzw. \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\) anzuwenden ist (ggf. nach vorheriger Umformung).

Andernfalls ist die Integration einer Produkt- bzw. Quotientenfunktion nur mit nicht abiturrelevanten Integrationsmethoden möglich.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Aufgaben Lösung - Aufgabe 2 »