Lösung - Aufgabe 2

Zwei Seitenflächen eines Laplace-Würfels sind rot, drei sind gelb und eine Seitenfläche ist blau.

Wie viele Würfe sind mindestens nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten.

Hierbei handelt es sich um eine typische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „mindestens \(k\) Treffer" (vgl. ABITUR SKRIPT 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße, 3-Mindestens-Aufgaben).

 

Wichtig!

Eine „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „mindestens \(k\) Treffer" wird mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) gelöst. Nur in der Variante „mindestens 1 Treffer" lassen sich „3-Mindestens-Aufgaben" im Rahmen der abiturrelevanten Mathematikkenntnisse durch Rechnung lösen.

 

Betrachtet werden die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse

\(R\): „Würfel zeigt Rot." und

\(\overline{R}\): „Würfel zeigt nicht Rot."

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(R\) ist mit \(p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (zwei Seitenflächen sind rot) konstant.

Folglich liegt ein Bernoulli-Experiment der gesuchten Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) vor (vgl. ABITUR SKRIPT 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße, Bernoulli-Experiment).

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche bei \(n\)-maligem Würfeln die Anzahl beschreibt, wie oft der Würfel die Farbe Rot zeigt.

Dann ist die Zufallsgröße \(X\) nach \(B(n;\frac{1}{3})\) binomialvetrteilt.

 

Die Frage: „ Wie viele Würfe sind mindestens nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten" führt damit auf folgenden Absatz:

 

\[P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \geq 3) \geq 0{,}60\]

 

Um mit dem Stochastischen Tafelwerk arbeiten zu können, wird die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \geq 3)\) auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgeführt.

Hierfür wird das Gegenereignis „höchstens zweimal Rot" betrachtet. Das Ereignis „mindestens dreimal Rot" ist gleichbedeutend mit dem Ereignis „nicht höchstens zweimal Rot" (verneintes Gegenereignis).

\[\begin{align*}P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \geq 3) &\geq 0{,}60  \\[0.8em] 1 - P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\geq 0{,}60 \end{align*}\]

 

Nach elementarer Umfomung kann das Stochastische Tafelwerk verwendet werden. 

 

\[\begin{align*}1 - P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\geq 0{,}60 &&| - 1 \\[0.8em] - P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\geq -0{,}40 &&| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\leq 0{,}40 \end{align*}\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Für die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) sucht man diejenige Tabelle der Länge der Bernoullikette \(n\), deren Eintrag in der rechten Spalte (\(\sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(n:p;i)\), kumulative Verteilungsfunktion) möglichst nahe an den Wert \(0{,}40\) heranreicht und notiert die Anzahl der Treffer \(k\) der zugehörigen Zeile.

 

\[P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) \leq 0{,}40 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad n = 9 \enspace \left(P_{\frac{1}{3}}^{9}(X \leq 2) = 0{,}37718\right)\]

 

Zum Vergleich:

 

\[n = 8 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{\frac{1}{3}}^{8}(X \leq 2) = 0{,}46822\]

Die Bedingung \(P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) \leq 0{,}40\) ist für \(n = 8\) nicht erfüllt.

 

\[n = 10 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{\frac{1}{3}}^{10}(X \leq 2) = 0{,}29914\]

Die Bedingung \(P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) \leq 0{,}40\) ist für \(n = 10\) übererfüllt.

 

Es sind mindestens neun Würfe nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten.

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