Lösung - Aufgabe 5

Die Punkte \(A(0|2|2)\), \(B(2|3|0)\) und \(C(0|-2|4)\) legen die Ebene \(E\) fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\))

b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-, \(x_{2}\)- bzw. \(x_{3}\)-Achse und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene \(E\) in einem kartesischen Koordinatensystem.

c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden \(s\) der Ebene \(E\) und der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene.

d) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(S'\), der durch Spiegelung des Punktes \(S_{1}\) an der Geraden \(s\) hervorgeht.

a) Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform

Punkte A, B und C, Verbindungsvektoren der Punkte A und B sowie A und C, Ebene E, Normalenvektor der Ebene E

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger Vektoren, beispielsweise der Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\), liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(A\), \(B\) oder \(C\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen (vgl. ABITUR SKRIPT 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform). Die Aufgabenstellung nennt als mögliches Ergebnis eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) bestimmen:

 

\(A(0|2|2)\), \(B(2|3|0)\), \(C(0|-2|4)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 & \cdot & 2 & - & (-2) & \cdot & (-4) \\ (-2) & \cdot & 0 & - & 2 & \cdot & 2 \\ 2 & \cdot & (-4) & - & 1 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -6 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= (-2) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform formulieren:

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \; A(0|2|2)\]

 

\[\begin{align*} &E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \\[0.8em] &E \colon \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right] = 0 \end{align*}\]

 

Ggf. wandelt man die Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung in die Koordinatendarstellung um. Hierfür wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot (x_{1} - 0) + 2 \cdot (x_{2} - 2) + 4 \cdot (x_{3} - 2) &= 0 \\[0.8em] 3x_{1} + 2x_{2} - 4 + 4x_{3} - 8 &= 0 \\[0.8em] 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} -12 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad &E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} - 12 = 0 \\[0.8em] &E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12 \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \; A(0|2|2)\]

 

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*} A \in E \colon 3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 12 + n_{0} &= 0 & &| - 12 \\[0.8em] n_{0} &= -12 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad &E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} - 12 = 0 \\[0.8em] &E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12 \end{align*}\]

 

b) Koordinaten der Schnittpunkte der Ebene \(E\) mit den Koordinatenachsen und Veranschaulichung der Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem

Die Schnittpunkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) der Ebenen \(E\) mit der \(x_{1}\)-, \(x_{2}\)- bzw. \(x_{3}\)-Achse sind die Spurpunkte der Ebene \(E\). Jeweils zwei Koordinaten der Spurpunkte sind gleich Null (vgl. ABITUR SKRIPT 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform, Spurgerade einer Ebene).

 

Spurpunkt \(S_{1}\) (Schnittpunkt mit der \(x_{1}\)-Achse): \(S_{1}(x_{1}|0|0)\)

Spurpunkt \(S_{2}\) (Schnittpunkt mit der \(x_{2}\)-Achse): \(S_{2}(0|x_{2}|0)\)

Spurpunkt \(S_{3}\) (Schnittpunkt mit der \(x_{3}\)-Achse): \(S_{3}(0|0|x_{3})\)

 

Die jeweils fehlende Koordinate lässt sich durch Einsetzen der Koordinaten der Spurpunkte in die Gleichung der Ebenen \(E\) (vgl. Teilaufgabe a) berechnen.

 

\[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\]

 

\[\begin{align*} S_{1}(x_{1}|0|0) \in E \colon 3x_{1} + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 &= 12 \\[0.8em] 3x_{1} &= 12 &&| : 3 \\[0.8em] x_{1} &= 4 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{1}(4|0|0)\]

 

\[\begin{align*} S_{2}(0|x_{2}|0) \in E \colon 3 \cdot 0 + 2x_{2} + 4 \cdot 0 &= 12 \\[0.8em] 2x_{2} &= 12 &&| : 2 \\[0.8em] x_{2} &= 6 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{2}(0|6|0)\]

 

\[\begin{align*} S_{3}(0|0|x_{3}) \in E \colon 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 4x_{3} &= 12 \\[0.8em] 4x_{3} &= 12 &&| : 4 \\[0.8em] x_{3} &= 3 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{3}(0|0|3)\]

 

Veranschaulichung der Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem:

 

Lage der Ebene E im Koordinatensystem, Spurpunkte S₁, S₂ und S₃

Durch Einzeichnen der Spukpunkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) der Ebene \(E\) lässt sich die Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem veranschaulichen.

 

c) Gleichung der Schnittgeraden \(s\) der Ebene \(E\) und der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene

Ebene E mit Spurpunkten S₁, S₂ und S₃, x₂x₃-Ebene, Schnittgerade s

Die Schnittgeraden \(s\) der Ebene \(E\) und der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene entspricht der Spurgeraden \(S_{2}S_{3}\) der Ebene \(E\).

Die Spurpunkte \(S_{2}\) und \(S_{3}\) legen also die Schnittgerade \(s\) fest. Eine Gleichung der Schnittgeraden \(s\) in Parameterform lässt sich daher beispielsweise mit dem Spurpunkt \(S_{2}\) als Aufpunkt und dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) als Richtungsvektor angeben.

\[s \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S_{2}} + \lambda \cdot \overrightarrow{S_{2}S_{3}}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{S_{2}S_{3}} = \overrightarrow{S_{3}} - \overrightarrow{S_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad s \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Alternativer Lösungsweg:

(vgl. ABITUR SKRIPT 2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen, Bestimmung der Schnittgeraden zweier Ebenen)

 

\[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\]

\(x_{2}x_{3}\text{-Ebene}\colon x_{1} = 0\)

 

Die Schnittgerade \(s\) beschreibt die Menge aller Punkte \(X\), welche sowohl in der Ebene \(E\) als auch in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene liegen. Die beiden Ebenengleichungen in Normalenform in Koordinatendarstellung bilden somit ein lineares Gleichungssystem.

 

\[\Longrightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} \text{I} & & & 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \enspace x_{1} = 0 \end{align*} \right.\]

 

Gleichung II in Gleichung I eingesetzt, ergibt eine Gleichung mit zwei Unbekannten \((x_{2}, x_{3})\).

 

\[\text{II in I} \colon 2x_{2} + 4x_{3} = 12\]

 

Die Gleichung kann nur in Abhängigkeit einer frei wählbaren Variablen gelöst werden. Eine der Koordinaten \(x_{2}\) oder \(x_{3}\) wird mit einem Parameter besetzt. Beispielsweise wählt man \(x_{3} = \lambda\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) und gibt die Koordinate \(x_{2}\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) an.

Damit lassen sich alle drei Koordinaten \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) eines beliebigen Punktes \(X\) der Schnittgeraden \(s\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) beschreiben. Durch Umformen erhält man eine Gleichung der Schnittgeraden \(s\) in Parameterform.

 

\[x_{3} = \lambda; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\begin{align*}2x_{2} + 4 \lambda &= 12 &&| -4\lambda \\[0.8em] 2x_{2} &= 12 - 4\lambda &&| : 2 \\[0.8em] x_{2} &= 6 - 2\lambda  \end{align*}\]

 

Mit \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 6 - 2\lambda\) und \(x_{3} = \lambda\) ergibt sich der Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) eines beliebigen Punktes \(X\) der Schnittgeraden \(s\) zu:

 

\[\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 - 2\lambda \\ \lambda \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Abschließend wird der Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) in der nach dem Ortsvektor des Aufpunkts und dem Richtungsvektor getrennten Schreibweise \(\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) formuliert.

\[\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 - 2\lambda \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 0\lambda \\ 6 - 2\lambda \\ 0 + 1\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad s \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

d) Koordinaten des Punktes \(S'\), der durch Spiegelung des Punktes \(S_{1}\) an der Geraden \(s\) hervorgeht

(vgl. ABITUR SKRIPT 2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Geraden)

 

Lotfußpunkt F des Lotes des Punktes S₁ auf die Gerade s 

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(S_{1}\) auf die Gerade \(s\) (vgl. Teilaufgabe c). Die Entstehung des Punktes \(S'\), der durch Spiegelung des Punktes \(S_{1}\) an der Geraden \(s\) hervorgeht, lässt sich auf die Spiegelung des Punktes \(S_{1}\) am Lotfußpunkt \(F\) zurückführen (vgl. ABITUR SKRIPT 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt). Der Ortsvektor \(\overrightarrow{S'}\) ergibt sich durch Vektoraddition:

 

\[\overrightarrow{S'} = \overrightarrow{S_{1}} + 2 \cdot \overrightarrow{S_{1}F}\]

oder

\[\overrightarrow{S'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{S_{1}F}\]

 

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) bzw. den Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) zu ermitteln. Nachfolgend werden drei Lösungsansätze aus der analytischen Geometrie vorgestellt und ein Lösungsansatz, der die Differentialrechnung anwendet.

 

1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden

Veranschaulichung des Lösungsansatzes: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) (oder ein reelles Vielfaches davon) ist ein Richtungsvektor der Geraden \(s\) (vgl. Teilaufgabe c). Der Richtungsvektor der Geraden \(s\) und der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) sind zueinander senkrecht. Folglich ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich Null (vgl. ABITUR SKRIPT 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).

\[\overrightarrow{S_{2}S_{3}} \perp \overrightarrow{S_{1}F} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{S_{2}S_{3}} \circ \overrightarrow{S_{1}F} = 0\]

 

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) ist aus Teilaufgabe c bereits bekannt.

 

\[\overrightarrow{S_{2}S_{3}} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) lässt sich mit \(F \in s\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Geraden \(s\) beschreiben.

 

\[s \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[F \in s \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix}\]

 

MIt \(\overrightarrow{S_{1}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe b) folgt:

 

\[\overrightarrow{S_{1}F} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{S_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix}\]

 

Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden:

das Skalarprodukt der othogonalen Vektoren \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) und \(\overrightarrow{S_{1}F}\) liefert genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) bzw. den Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) festlegt.

\[\begin{align*} \overrightarrow{S_{2}S_{3}} \circ \overrightarrow{S_{1}F} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -4 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (-4) + (-6) \cdot (6 - 6\lambda) + 3 \cdot 3\lambda &= 0 \\[0.8em] -36 + 36\lambda + 9\lambda &= 0 \\[0.8em] -36 + 45\lambda &= 0 &&| + 36 \\[0.8em] 45\lambda &= 36 &&| : 45 \\[0.8em] \lambda &= \frac{36}{45} \\[0.8em] &= \frac{4}{5} \\[0.8em] &= 0{,}8 \end{align*}\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) oder Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) berechnen: 

 

\[\overrightarrow{S_{1}F}  = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 - 6 \cdot 0{,}8 \\ 3 \cdot 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1{,}2 \\ 2{,}4 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 - 6 \cdot 0{,}8 \\ 3 \cdot 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1{,}2 \\ 2{,}4 \end{pmatrix}\]

 

Koordinaten des Punktes \(S'\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{S'} = \overrightarrow{S_{1}} + 2 \cdot \overrightarrow{S_{1}F} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1{,}2 \\ 2{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2{,}4 \\ 4{,}8 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S'(-4|2{,}4|4{,}8)\]

 

oder

 

\[\overrightarrow{S'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{S_{1}F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1{,}2 \\ 2{,}4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 1{,}2 \\ 2{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2{,}4 \\ 4{,}8 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S'(-4|2{,}4|4{,}8)\]

 

2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen

Veranschaulichung des Lösungsansatzes: Hilfsebene anwenden

Die Hilfsebene \(H\), welche den Punkt \(S_{1}\) enthält (\(S_{1} \in H\)) und senkrecht zur Geraden \(s\) liegt (\(H \perp s\)), schneidet die Gerade \(s\) im Lotfußpunkt \(F\). Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) der Geraden \(s\) (vgl. Teilaufgabe c) ist ein Normalenvektor der Hilfsebene \(H\).

 

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Geraden \(s\) beschreiben (vgl. 1. Möglichkeit).

 

\[\overrightarrow{S_{1}F} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix}\]

 

Hilfsebene \(H\) austellen (vgl. ABITUR SKRIPT 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen):

 

\(S_{1} \in H\); \(H \perp s\)

\(\overrightarrow{S_{2}S_{3}} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{S_{1}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe b, c)

 

\[H \colon \overrightarrow{S_{2}S_{3}} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{S_{1}})\]

\[H \colon \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 0\]

 

Schneidet man die Gerade \(s\) mit der Hilfsebene \(H\), erhält man genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) bzw. den Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) festlegt (vgl. 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts). Hierfür wird der Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung der Geraden \(s\) in die Gleichung der Hilfsebene \(H\) eingesetzt und die Gleichung nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst.

 

\[s \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[H \colon \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 0\]

\[\begin{align*}s \cap H \colon \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -4 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (-4) + (-6) \cdot (6 - 6\lambda) + 3 \cdot 3\lambda &= 0 \\[0.8em] -36 + 36\lambda + 9\lambda &= 0 \\[0.8em] -36 + 45\lambda &= 0 &&| + 36 \\[0.8em] 45\lambda &= 36 &&| : 45 \\[0.8em] \lambda &= \frac{36}{45} \\[0.8em] &= \frac{4}{5} \\[0.8em] &= 0{,}8 \end{align*}\]

 

Für die Berechnung der Koordinaten des Punktes \(S'\) vgl. 1. Möglichkeit.

 

3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe)

Veranschaulichung des Lösungsansatzes: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe)

Die Länge der Strecke \([S_{1}X]\) zwischen dem Punkt \(S_{1}\) und einem Beliebigen Punkt \(X\) auf der Geraden \(s\) \((X \in s)\) ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{S_{1}X}\).

 

\[\overline{S_{1}X} = \vert \overrightarrow{S_{1}X} \vert\]

 

Für \(X = F\) ist die Lage der Strecke \([S_{1}X]\) minimal. Folglich muss die erste Ableitung \(\overline{S_{1}X}'\) gleich Null sein (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte). Der Nachweis der Art des Extremwerts kann entfallen, denn für \(X \neq F\) nimmt die Länge der Strecke \([S_{1}X]\) einen beliebig großen Wert an. Somit existiert keine maximale Länge der Strecke \([S_{1}X]\). 

 

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}X}\) lässt sich mit \(X \in s\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Geraden \(s\) beschreiben (vgl. 1. Möglichkeit, Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\)).

 

\[\overrightarrow{S_{1}X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([S_{1}X]\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) beschreiben:

\[\begin{align*}\overline{S_{1}X} &= \vert \overrightarrow{S_{1}X} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -4 \\ 6 - 6\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-4)^{2} + (6 - 6\lambda)^{2} +(3\lambda)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{16 + 36 - 72\lambda + 36{\lambda}^{2} + 9{\lambda}^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{45{\lambda}^{2} -72\lambda + 52} \end{align*}\]

 

Notwendige Bedingung \(\overline{S_{1}X}'(\lambda) = 0\) für minimale Länge der Strecke \([S_{1}X]\):

 

\[\begin{align*}\overline{S_{1}X}'(\lambda) &= 0 \\[0.8em] \left( \sqrt{45{\lambda}^{2} - 72\lambda + 52} \right)' &= 0 \end{align*}\]

 

Da der Wert einer Wurzel minimal ist, wenn der Wert des Radikanden (Ausdruck unter der Wurzel) minimal ist, genügt es, den Radikanden zu betrachten und dessen erste Ableitung gleich Null zu setzen.

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad \left( 45{\lambda}^{2} - 72\lambda + 52 \right)' &= 0 \\[0.8em] 90\lambda - 72 &= 0 &&| + 72 \\[0.8em] 90\lambda &= 72 &&| : 90 \\[0.8em] \lambda &= \frac{72}{90} \\[0.8em] &= \frac{4}{5} \\[0.8em] &= 0{,}8 \end{align*}\]

 

Für \(\lambda = 0{,}8\) ist die Länge der Strecke \([S_{1}X]\) minimal, d.h. es gilt \([S_{1}X] = [S_{1}F]\).

Die Berechnung der Koordinaten des Punktes \(S'\) erfolgt wie bei der 1. Möglichkeit beschrieben.

 

4. Möglichkeit: Lotgerade zur Geraden \(s\) durch Punkt \(S_{1}\) aufstellen

Veranschaulichung des Lösungsansatzes: Lotgerade zur Geraden s aufstellen

Betrachtet wird die Lotgerade \(l\) zur Geraden \(s\) durch den Punkt \(S_{1}\). Die Lotgerade \(l\) schneidet die Gerade \(s\) im Lotfußpunkt \(F\). Da die Lotgerade \(l\) in der Ebene \(E\) liegt (vgl, Teilaufgabe a), ist das Vektorprodukt aus dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) und dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) der Geraden \(s\) ein Richtungsvektor der Lotgeraden \(l\).

 

Richtungsvektor der Lotgerade \(l\) zur Geraden \(s\) ermitteln:

 

\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe a, c)

\[\begin{align*} \overrightarrow{n}_{E} \times \overrightarrow{S_{2}S_{3}} &= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &=  \begin{pmatrix} 2 & \cdot & 3 & - & 4 & \cdot & (-6) \\ 4 & \cdot & 0 & - & 3 & \cdot & 3 \\ 3 & \cdot & (-6) & - & 2 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &=  \begin{pmatrix} 30 \\ -9 \\ -18 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 3 \cdot  \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}\) ist ein Richtungsvektor der Lotgeraden \(l\).

Mit \(\overrightarrow{S_{1}} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe b) folgt:

 

\[l \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Schneidet man nun die Lotgerade \(l\) mit der Geraden \(s\) erhält man genau den Wert des Parameters \(\lambda\) bzw. des Parameters \(\mu\), der den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}F}\) bzw. den Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) festlegt. Hierfür werden die Ortsvektoren \(\overrightarrow{X}\)der Geradengleichungen gleichgesetzt.

 

\[l \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

\[s \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{X}_{l} &= \overrightarrow{X}_{s} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Zeilenweise gelesen, ergibt die Vektorgleichung ein (überbestimmtes) lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\).

 

\begin{align*} \text{I} & & & 4 + 10\mu = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mu = -\frac{4}{10} = -0{,}4 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \quad -3\mu = 6 - 6\lambda \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace & \quad -6\mu = \quad \enspace \; 3\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = -2\mu \end{align*}

 

\[\mu = -0{,}4 \; \text{in III}\colon \; \lambda = (-2) \cdot (-0{,}4) = 0{,}8\]

 

\[\begin{align*}\mu = -0{,}4, \; \lambda = 0{,}8 \; \text{in II}\colon \; (-3) \cdot (-0{,}4) &= 6 - 6 \cdot 0{,}8 \\[0.8em] 1{,}2 &= 6 - 4{,}8 \\[0.8em] 1{,}2 &= 1{,}2 \quad (\text{w}) \end{align*}\]

 

\(\lambda = 0{,}8\), \(\mu = -0{,}4\) ist eindeutige Lösung de Gleichungssystems.

 

Die Berechnung der Koordinaten des Punktes \(S'\) erfolgt wie bei der 1. Möglichkeit beschrieben.

Mit \(F \in l\) kann für die Berechnung des Ortsvektors \(\overrightarrow{F}\) auch \(\mu = -0{,}4\) in die Gleichung der Lotgeraden \(l\) eingesetzt werden.

 

\[F \in l \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - 0{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1{,}2 \\ 2{,}4 \end{pmatrix}\]

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