Lösung - Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\).

Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\) dieselbe Steigung besitzen.

a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{g}\) und Veranschaulichen Sie die Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente. 

b) Begründen Sie rechnerisch, dass \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist. Versuchen Sie nicht, die Gleichung zu lösen!

c) Die Gleichung \(h(x) = 0\) lässt sich näherungsweise mithilfe des Newton-Verfahrens lösen. Begründen Sie, dass \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die Anwendung des Newton-Verfahrens ist.

d) Berechnen Sie näherungsweise die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) durchführen.

e) Die Gerade \(x = x_{T}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(P\) und \(G_{g}\) im Punkt \(Q\). Die Normale \(N_{f}\) durch Punkt \(P\) sowie die Normale \(N_{g}\) durch Punkt \(Q\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt dieses Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen.

Ergänzen Sie Ihre Skizze aus Teilaufgabe a um die Gerade \(x = x_{T}\) sowie die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie sodann die wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\).

a) Skizzieren von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) sowie Veranschaulichen der Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente

Für das Skizzieren der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) sei an dieser Stelle auf die Eigenschaften der Natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion verwiesen (vgl. ABITUR SKRIPT 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion).

Unter der Steigung des Graphen einer Funktion versteht man die Steigung der Tangente an der betrachteten Stelle.

Graph der Funktion f, Graph der Funktion g sowie Tangenten an der Stelle gleicher Steigung

Die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ist diejenige Stelle, an der die Tangente \(T_{f}\) an \(G_{f}\) und die Tangente \(T_{g}\) an \(G_{g}\) die gleiche Steigung besitzen, d.h. die Tangenten verlaufen zueinander parallel.

 

b) Begründung, weshalb \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist

 

\[f(x) = e^{x}; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g(x) = \ln{x}; \; D_{g} = \mathbb R^{+}\]

\[h(x) = x \cdot e^{x} - 1; \; D_{h} = \mathbb R\]

 

Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion. Aus der Bedingung gleicher Steigungen der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) folgt somit der Ansatz:

(vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen, Seite 1, Stelle mit gleicher Steigung zweier Funktionsgraphen)

\[f'(x) = g'(x)\]

 

Mit \(f'(x) = e^{x}\) und \(g'(x) = \frac{1}{x}\) (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.2 Ableitungsregeln bzw. Merkhilfe) ergibt sich:

\[\begin{align*} f'(x) &= g'(x) \\[0.8em] e^{x} &= \frac{1}{x} &&| \cdot x \\[0.8em] x \cdot e^{x} &= 1 &&| - 1 \\[0.8em] x \cdot e^{x} - 1 &= 0 \\[0.8em] h(x) &= 0 \end{align*}\]

 

Also ist \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\).

 

c) Begründung weshalb, \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die näherungsweise Lösung der Gleichung \(h(x) = 0\) mithilfe des Newton-Verfahrens ist

Ein geeigneter Startwert liegt in der Umgebung der Nullstelle von \(h(x)\) (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.5 Newton-Verfahren).

Schnittstelle der Graphen der Funktionen f' und g', einfache Nullstelle der Funktion h

In Teilaufgabe b wurde gezeigt, dass der Ansatz \(f'(x) = g'(x)\) auf die Gleichung \(h(x) = 0\) führt. Eine mit geeigneten Graphenpunkten einfach anzufertigende Skizze zeigt, dass sich die Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f':x \mapsto e^{x}\) und \(G_{g'}\) der Ableitungsfunktion \(g'\colon x \mapsto \frac{1}{x}\)  schneiden. Dies deutet auf eine einfache Nullstelle der Funktion \(h\) hin.

Es ist somit nachzuweisen, dass die Funktion \(h\) im Intervall \([0{,}3;0{,}7]\) das Vorzeichen wechselt.

 

\[h(x) = x \cdot e^{x} - 1\]

 

\[h(0{,}3) = 0{,}3 \cdot e^{0{,}3} - 1 \approx -0{,}6\]

\[h(0{,}7) = 0{,}7 \cdot e^{0{,}7} - 1 \approx 0{,}4\]

 

Also besitzt die Funktion \(h\) im Intervall \([0{,}3;0{,}7]\) eine einfache Nullstelle und \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ist ein geeigneter Startwert für die näherungsweise Lösung der Gleichung \(h(x) = 0\) mithilfe des Newton-Verfahrens.

 

d) Durchführung des ersten Schritts des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) für die näherungsweise Berechnung die Stelle \(x_{T}\)

Gemäß der Newtonschen Iterationsformel gilt:

\[x_{1} = x_{0} - \frac{h(x_{0})}{h'(x_{0})}\]

 

Erste Ableitung \(h'\) der Funktion \(h\) bilden:

Die Funktion \(h\) lässt sich mithilfe der Produktregel, der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summenregel ableiten.

 

\[h(x) = x \cdot e^{x} - 1\]

\[h'(x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} - 0 = e^{x}(1 + x)\]

 

Mit \(x_{0} = 0{,}5\) ergibt sich in erster Näherung:

 

\[x_{1} = 0{,}5 - \frac{h(0{,}5)}{h'(0{,}5)} = 0{,}5 - \frac{0{,}5 \cdot e^{0{,}5} - 1}{e^{0{,}5}(1 + 0{,}5)} \approx 0{,}57\]

 

An der Stelle \(x_{T} \approx 0{,}57\) besitzen die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) der Funktionen \(f \colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) dieselbe Steigung.

 

e) Teil1: Einzeichnen der Gerade \(x = x_{T}\), der Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) sowie Schraffieren des Flächenstücks mit dem Flächeninhalt \(A\)

Flächenstück mit dem Flächeninhalt A

Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\), welches die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) sowie die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) einschließen. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt das Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen (vgl. Angabe). 

 

e) Teil 2: Beschreibung der wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\)

Flächenstück mit dem Flächeninhalt A/2.

Da die Gerade \(x = x_{T}\) das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) in zwei gleich große Teilflächen teilt, kann für die Berechnung des Flächeninhalt \(A\) beispielsweise das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(\frac{A}{2}\) betrachtet werden, welches der Graph \(G_{f}\), die Normale \(N_{g}\) und die Gerade \(x = x_{T}\) einschließen.

Dann gilt (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.4 Flächenberechnung, Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen):

 

\[A = 2 \cdot \int_{x_{s}}^{x_{T}} \left[ f(x) - N_{g}(x) \right] dx\]

 

Dabei ist \(x_{S}\) die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts der Normale \(N_{g}\) und des Graphen \(G_{f}\) und \(N_{g}(x)\) der Funktionsterm der Normale \(N_{g}\). Da der Graph \(G_{f}\) für \(x \in [x_{S};x_{T}]\) stets oberhalb der Normale \(N_{g}\) verläuft, ist die Differezfunktion \(f(x) - N_{g}(x)\) positiv, sodass der Betrag des Integrals entfallen kann.

 

1. Schritt: Funktionsterm der Normale \(N_{g}\) ermitteln

Ansatz: \(N_{g}(x) = mx + t\)

Es gilt \(m = -\frac{1}{g'(x_{T})}\).

Mit \(Q(x_{T}|g(x_{T})) \in N_{g}\) lässt sich der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen.

 

2. Schritt: \(x\)-Koordinate \(x_{S}\) des Schnittpunkts der Normale \(N_{g}\) mit dem Graphen \(G_{f}\) berechnen

\(x_{S}\) ist die untere Integrationsgrenze des zu berechnende bestimmte Integrals \(\displaystyle \int_{x_{s}}^{x_{T}} \left[ f(x) - N_{g}(x) \right] dx\).

 

Ansatz: \(f(x) = N_{g}(x)\)

Die Gleichung wird nach der Variablen \(x\) aufgelöst und liefert so den Wert für \(x_{S}\).

 

3. Schritt: Stammfunktion der Differenzfunktion \(f(x) - N_{g}(x)\) bilden

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{x_{s}}^{x_{T}} \left[ f(x) - N_{g}(x) \right] dx\) wird eine Stammfunktion der Differenzfunktion \(f(x) - N_{g}(x)\) (Integrandenfunktion) benötigt.

Diese kann mithilfe der wichtigen unbestimmten Integrale

\( \displaystyle \int e^{x} dx = e^{x} + C\),

\(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \; (r \neq -1)\) und

\( \displaystyle \int c \, dx = c \cdot x + C; \; c \in \mathbb R\)

mit jeweils \(C \in \mathbb R\), gebildet werden (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.2 Unbestimmtes Integral).

 

4. Flächeninhalt \(A\) berechnen

Unter Verwendung der im 3. Schritt ermittelten Stammfunktion wird der Flächeninhalt \(A\) berechnet.

\[A = 2 \cdot \int_{x_{s}}^{x_{T}} \left[ f(x) - N_{g}(x) \right] dx\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Aufgaben Lösung - Aufgabe 2 »