Lösung - Aufgabe 2

Ein Test besteht aus zwölf Fragen, zu denen es jeweils gleich viele Antwortmöglichkeiten gibt. Pro Frage ist genau eine Antwort richtig.

Wie viele Antwortmöglichkeiten darf der Test höchstens nennen, damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet.

Hierbei handelt es sich um eine Variation einer klassischen „3-Mindestens-Aufgabe", die indirekt danach fragt, wie hoch die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für die richtige Beantwortung einer Frage mindestens sein muss (vgl. ABITUR SKRIPT 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße, 3-Mindestens-Aufgaben).

Es sei \(x\) die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, welche der Test höchstens nennen darf, damit die Trefferwarscheinlichkeit \(p = \frac{1}{x}\) mindestens einen bestimmten Wert annimmt.

Da nur zwischen den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen „richtige Antwort" und „falsche Antwort" unterschieden wird, und zudem \(p\) bei jeweils gleich vielen Antwortmöglichkeiten \(x\) pro Frage konstant ist, liegt ein Bernoulli-Exoeriment der Länge \(n = 12\) vor.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der richtig beantworteten Fragen beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist somit nach \(B(12;p)\) bzw. \(B(12;\frac{1}{x})\) binomialverteilt.

Der Term \(P^{12}_{p}(X \geq 1)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ratender Teilnehmer mindestens eine Frage von insgesamt zwölf Fragen richtig beantwortet. Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 99 % betragen.

\[\begin{align*}P_{p}^{12}(X \geq 1) &\geq 0{,}99 &&| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{p}^{12}(X = 0) &\geq 0{,}99 &&| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{12}(X = 0) &\geq -0{,}01 &&| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{p}^{12}(X = 0) &\leq 0{,}01 &&| \; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{12}{0}}_{1} \cdot \underbrace{p^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{12 - 0} &\leq 0{,}01 \\[0.8em] (1 - p)^{12} &\leq 0{,}01 &&| \; \sqrt[12]{(\dots)} \\[0.8em] 1 - p &\leq \sqrt[12]{0{,}01} &&| + p - \sqrt[12]{0{,}01} \\[0.8em] 1 - \sqrt[12]{0{,}01} &\leq p &&| \; p = \frac{1}{x} \\[0.8em] 1 - \sqrt[12]{0{,}01} &\leq \frac{1}{x} &&| \cdot x \\[0.8em] x \cdot \left(1 - \sqrt[12]{0{,}01} \right) &\leq 1 &&| : \left(1 - \sqrt[12]{0{,}01} \right) \\[0.8em] x &\leq \frac{1}{1 - \sqrt[12]{0{,}01}} \\[0.8em] x &\lessapprox 3{,}14 &&| \; x \in \mathbb N \\[2.4em] \Longrightarrow \quad x &= 3 \end{align*}\]

 

Damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet, darf der Test pro Frage höchstens drei Antwortmöglichkeiten nennen.

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