Lösung - Aufgabe 3

Abbildung Klausur Q12/2-002 Aufgabe 3, Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach B(n;p) binomialverteilten Zufallsgröße X

Die Abbildung zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach \(B(n;p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) und kennzeichnet die Lage des Erwartungswerts \(\mu = E(X)\).

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung und unter Verwendung des Stochastischen Tafelwerks die Werte der Parameter \(n\) und \(p\). Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach \(B(10;0{,}95)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\).

 

Erläuterung der Vorgehensweise:

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach \(B(n;p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), deren Erwartungswert \(\mu = E(X)\) - und damit das Maximum der Binomialverteilung - hin zu großen Trefferanzahlen \(k\) verschoben ist. Daraus lässt sich schließen, dass \(p > 0{,}5\) gelten muss (vgl. ABITUR SKRIPT 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße, Histogramme einer Binomialverteilung). Wegen der sehr ausgeprägten Verschiebung hin zu großen Trefferanzahlen, darf eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angenommen werden, die deutlich größer als \(0{,}5\) ist.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert \(X > \mu\) annimmt, beträgt gemäß der Abbildung ca. \(0{,}6\). Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Trefferanzahlen gleich Eins ist \((\sum \limits_{i\,=\,0}^{k = n}B(n:p;i) = 1)\), finden sich hohe Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k) > 0{,}5\) für Bernoulliketten kleiner Längen \(n\).

Der Darstellung der Balken in der Abbildung zufolge, kann \(n = 10\) angenommen werden, wobei jede Wahrscheinlichkeit \(P(X = k)\) für \(k \leq 6\) nahezu gleich Null ist.

Sei also beispielsweise \(p = 0{,}9\) und \(n = 10\) angenommen, so ergibt sich der Erwartungswert zu \(\mu = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}9 = 9\). Dann müsste \(P(X > \mu) = P(X = 10) \approx 0{,}6\) gelten. Dem Stochastischen Tafelwerk (ST) entnimmt man mit \(P_{0{,}9}^{10}(X = 10) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}34868\), dass dies nicht der Fall ist. Folglich muss \(p > 0{,}9\) gelten. Außerdem zeigt die Abbildung, dass der Erwartungswert \(\mu\) kein ganzzahliger Wert ist, den die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann.

Die nächstgrößere im Stochstischen Tafelwerk tabellarisierte Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}95\). Dann gilt \(\mu = 10 \cdot 0{,}95 = 9{,}5\).

Mit \(P_{0{,}95}^{10}(X > \mu) = P_{0{,}95}^{10}(X = 10) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}59874\) und außerdem \(P_{0{,}95}^{10}(X = 9) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}31512\) ergibt sich eine klare Übereinstimmung mit der abgebildeten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

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