Lösung - Aufgabe 4

Die Punkte \(O(0|0|0)\), \(P(5|2|2)\) und \(Q(-2|4|-2)\) legen die Grundfläche \(OPQ\) der Pyramide \(OPQS\) mit dem Volumeninhalt 20 VE (Volumeneinheiten) fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse.

a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))

b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Grudfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen.

c) Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze \(S\).

d) Die Menge aller Pyramidenspitzen \(S^{*}\), sodass der Volumeninhalt der Pyramiden \(OPQS^{*}\) stets 20 VE beträgt, ist gegeben durch die Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform.

a) Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform

Die Punkte \(O(0|0|0)\), \(P(5|2|2)\) und \(Q(-2|4|-2)\) legen die Grundfläche \(OPQ\) fest, welche in der Ebene \(E\) liegt. 

Nomalenvektor der Ebene E

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger Vektoren, beispielsweise der Ortsvektoren \(\overrightarrow{P}\) und \(\overrightarrow{Q}\), liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(O\), \(P\) oder \(Q\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen (vgl. ABITUR SKRIPT 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform). Die Aufgabenstellung nennt als mögliches Ergebnis eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

\(P(5|2|2)\), \(Q(-2|4|-2)\)

\[\begin{align*} \overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q} &= \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix}2 & \cdot & (-2) & - & 2 & \cdot & 4 \\ 2 & \cdot & (-2) & - & 5 & \cdot & (-2) \\ 5 & \cdot & 4 & - & 2 & \cdot & (-2) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -12 \\ 6 \\ 24 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 6 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform formulieren:

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Es sei \(O\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \; O(0|0|0)\]

 

\[\begin{align*} &E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{O}) = 0 \\[0.8em] &E \colon \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \end{align*}\]

 

Ggf. wandelt man die Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung in die Koordinatendarstellung um. Hierfür wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] (-2) \cdot (x_{1} - 0) + 1 \cdot (x_{2} - 0) + 4 \cdot (x_{3} - 0) &= 0 \\[0.8em] -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3}  &= 0\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Es sei \(O\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \; O(0|0|0)\]

 

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*} O \in E \colon 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] n_{0} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\]

  

b) Neigungswinkel der Grundfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen

Neigungswinkel der Ebene E gegen die Horizontale 

Der Neigungswinkel der Grundfläche \(OPQ\) gegenüber der Horizontale entspricht dem Schnittwinkel der Ebene \(E\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser ist gleich dem spitzen Winkel \(\alpha\), den ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) und ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene festlegen.

Beispielsweise ist \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\left| \overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n}_{E} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \vert}{\sqrt{(-2)^{2} + 1^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{4}{\sqrt{21}} \\[0.8em] &= \frac{4\sqrt{21}}{21} & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \\[3.2em] \alpha &\approx 29{,}2^{\circ}\end{align*}\]

 

Die Grundfläche \(OPQ\) ist gegenüber der Horizontalen um ca. 29,2° geneigt.

 

c) Koordinaten der Pyramidenspitze \(S\)

Die Pyramidenspitze \(S\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse (vgl. Angabe).

 

\(\Longrightarrow \quad S(0|0|s_{3})\) mit \(s_{3} > 0\)

 

Anmerkung:

Die nachfolgend vorgestellten Lösungsansätze sind möglich, weil bereits zwei Koordinaten des Punktes \(S\) bekannt sind.

 

1. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden

Dreiseitige Pyramide OPQS

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide \(OPQS\) lässt sich mithilfe des Spatprodukts berechnen. Der Volumeninhalt beträgt 20 VE (vgl. Angabe).

\[\begin{align*}V_{OPQS} &= 20 \\[0.8em] \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{S} \circ ( \overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}) \right| &= 20 \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} -12 \\ 6 \\ 24 \end{pmatrix}\) ist aus Teilaufgabe a bereits bekannt.

\[\begin{align*} \frac{1}{6} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -12 \\ 6 \\ 24 \end{pmatrix} \right| &= 20 \\[0.8em] \frac{1}{6} \cdot \vert| 0 \cdot (-12) + 0 \cdot 6 + s_{3} \cdot 24 \vert &= 20 &&| \; s_{3} > 0 \\[0.8em] \frac{1}{6} \cdot 24s_{3} &= 20 \\[0.8em] 4s_{3} &= 20 &&| : 4 \\[0.8em] s_{3} &= 5  \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S(0|0|5)\]

 

2. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Ebene

Grundfläche G und Höhe h der Pyramide OPQS

Das Lot der Spitze \(S\) auf die Ebene \(E\), in der die Grundfläche \(G\) (Dreieck \(OPQ\)) liegt, legt die Höhe \(h\) der Pyramide \(OPQS\) fest. Die Höhe \(h\) entspricht dem Abstand \(d(S;E)\) des Punktes \(S\) von der Ebene \(E\).

\[d(S;E) = h\]

 

Der Flächeninhalt der Grundfläche \(G\) lässt sich mithilfe des Vektorprodukts berechnen. Folglich kann bei bekanntem Volumeninhalt der Pyramide \(OPQS\) die Höhe \(h\) berechnet werden.

\[V_{OPQS} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \quad \Longleftrightarrow \quad h = \frac{3 \cdot V_{OPQS}}{G}\]

 

Die Formel für den Abstand \(d(S;E)\) wird aus der Hesseschen Normalenform der Ebene \(E\) abgeleitet. Damit liefert die Gleichung \(d(S;E) = h\) die \(x_{3}\)-Koordinate der Pyramidenspitze \(S\).

 

Flächeninhalt der Grundfläche \(G\) berechnen:

\[\begin{align*} G &= A_{OPQ} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q} \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -12 \\ 6 \\ 24 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-12)^{2} + 6^{2} + 24^{2}} \\[0.8em] &= 3\sqrt{21} \end{align*}\]

 

Höhe \(h\) der Pyramide \(OPQS\) berechnen:

 

\[h = \frac{3 \cdot V_{OPQS}}{G} = \frac{\cancel{3} \cdot 20}{\cancel{3}\sqrt{21}} = \frac{20}{\sqrt{21}} \enspace \left( = \frac{20\sqrt{21}}{21} \right)\]

 

Hessesche Normalenform der Ebene \(E\) ermitteln:

Die Hessesche Normalenform \(E_{HNF}\) der Ebene \(E\) entsteht durch Division der Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform durch den Betrag des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).

 

\[E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\]

\(\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert = \sqrt{21}\) (vgl. Teilaufgabe b)

 

\[E_{HNF} \colon \frac{-2x_{1} + x_{2} + 4x_{3}}{\sqrt{21}} = 0\]

 

Damit ergibt sich der Abstand \(d(S;E)\) des Punktes \(S(0|0|s_{3})\) von der Ebene \(E\) zu:

\[\begin{align*}d(S;E) &= \left| \frac{-2s_{1} + s_{2} + 4s_{3}}{\sqrt{21}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{(-2) \cdot 0 + 0 + 4s_{3}}{\sqrt{21}} \right| &&| \; s_{3} > 0 \\[0.8em] &= \frac{4s_{3}}{\sqrt{21}} \end{align*}\]

 

\(x_{3}\)-Koordinate der Pyramidenspitze \(S\) berechnen:

 

\[\begin{align*} d(S;E) &= h \\[0.8em] \frac{4s_{3}}{\sqrt{21}} &= \frac{20}{\sqrt{21}} &&| \cdot \sqrt{21} \\[0.8em] 4s_{3} &= 20 &&| : 4 \\[0.8em] s_{3} &= 5 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S(0|0|5)\]

 

d) Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform

Die Ebene \(F\) liegt im Abstand \(d(F;E) = h\) parallel zur Ebene \(E\). Dann beträgt der Volumeninhalt aller Pyramiden \(OPQS^{*}\) mit \(S^{*} \in F\) stets 20 VE, da bei gleicher Grundfläche \(G\) die Höhe \(h\) der Pyramiden konstant ist.

Ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{F}\) der Ebene \(F\) ist gegeben durch den Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).

 

\[E \parallel E \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{F} = \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Die Pyramidenspitze \(S(0|0|5)\) liegt in der Ebene \(F\) und dient als Aufpunkt einer Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform. Die Gleichung kann in Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung angegeben werden.

Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform in Vektordarstellung:

 

\[F \colon \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform in Koordinatendarstellung:

 

\[F \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*}S(0|0|5) \in F \colon (-2) \cdot 0 + 0 + 4 \cdot 5 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 20 + n_{0} &= 0 &&| - 20 \\[0.8em] n_{0} &= -20 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} - 20 = 0\]

 

Ebene F, welche parallel zur Ebene E liegt und die Üyramidenspitze S enthält.

Ebene \(F \parallel E\) im Abstand \(d(F;E) = h\), welche die Menge aller Punkte \(S^{*}\) bildet, sodass das Volumen der Pyramiden \(OPQS^{*}\) stets 20 VE beträgt.

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