Lösung - Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(3|4|5)\) und dem Radius \(r = 3\).

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) tangiert.

Gerade g berührt (tangiert) Kugel K

Die Gerade \(g\) berührt (tangiert) die Kugel \(K\), wenn der Abstand \(d(M;g)\) des Mittelpunkts \(M\) von der Geraden \(g\) gleich dem Radius \(r\) ist (vgl. ABITUR SKRIPT 2.7.3 Lagebeziehung Gerade - Kugel).

Anstatt nun relativ aufwendig den Abstand \(d(M;g)\) zu berechnen (vgl. ABITUR SKRIPT 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade), ist es einfacher, den Ansatz für die Berechnung der gemeinsamen Punkte der Kugel \(K\) und der Geraden \(g\) zu wählen. 

 

Gleichung der Kugel \(K\) formulieren:

\(M(3|4|5)\), \(r = 3\)

\[K \colon (x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + (x_{3} - 5)^{2} = 9\]

 

Für die Berechnung der gemeinsamen Punkte der Kugel \(K\) und der Geraden \(g\) werden die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung der Geraden \(g\) in die Kugelgleichung eingesetzt. Es ergibt sich eine quadratische Gleichung für den Parameter \(\lambda\), welche im Falle eines Berührpunkts genau eine Lösung hat.

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 2\lambda \\ 6 + 2\lambda \\ -3 - 3\lambda \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} g \cap K \colon (6 + 2\lambda - 3)^{2} + (6 + 2\lambda - 4)^{2} + (-3 - 3\lambda - 5)^{2} &= 9 \\[0.8em] (3 + 2\lambda)^{2} + (2 + 2\lambda)^{2} + (-8 - 3\lambda)^{2} &= 9 \\[0.8em] 9 + 12\lambda + 4\lambda^{2} + 4 + 8\lambda + 4\lambda^{2} + 64 + 48\lambda + 9\lambda^{2} &= 9 \\[0.8em] 17\lambda^{2} + 68\lambda + 77 &= 9 &&| - 9 \\[0.8em] 17\lambda^{2} + 68\lambda + 68 &= 0 \end{align*}\]

 

Die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante \(D\) gleich Null ist.

\[17\lambda^{2} + 68\lambda + 68 = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = 17, \; b = 68, \; c = 68\]

 

\[D = b^{2} - 4ac = 68^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 68 = 0\]

 

Also existiert genau ein gemeinsamer Punkt der Kugel \(K\) und der Gerade \(g\) (Berührpunkt). Folglich tangiert die Gerade \(g\) die Kugel \(K\).

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