Lösung - Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

a) Maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\)

Anmerkung:

Die Maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) und die Wertemenge \(W_{f}\) sind lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

Maximale Definitionsmenge \(D_{f}\)

 

\[f(x) = \sqrt{8 - 2x}\]

 

Der Radikand (Ausdruck unter der Wurzel) darf nicht negativ sein.

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 8 - 2x &\geq 0 &&| + 2x \\[0.8em] 8 &\geq 2x &&| : 2 \\[0.8em] 4 &\geq x \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \; ]-\infty;4]\]

 

Wertemenge \(W_{f}\)

 

\[f(x) = \sqrt{8 - 2x}\]

 

Es werden die Funktionswerte von \(f\) an den Grenzen des Definitionsbereichs \(D_{f}\) betrachtet. 

Für \(x = 4\) nimmt die Funktion \(f\) den kleinstmöglichen Wert \(f(4) = 0\) an.

Für \(x \to -\infty\) gilt:

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \sqrt{8 - 2x} = +\infty\]

 

\[\Longrightarrow \quad W_{f} = [0;+\infty[ \; = \mathbb R^{+}_{0}\]

 

b) Begründung der Umkehrbarhkeit von \(f\) sowie Funktionsterm der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) mit Definitions- und die Wertemenge

 

Begründung der Umkehrbarkeit von \(f\)

Die Funktion \(f\) ist in \(D_{f}\) umkehrbar, wenn der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) in \(D_{f}\) entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.6 Umkehrfunktion).

Das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) kann mithilfe der ersten Ableitung \(f'\) nachgewiesen werden.

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die Wurzelfunktion \(f\) lässt sich mithilfe der Ableitung einer Wurzelfunktion bzw. der Kettenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten. Als Alternative kann der Wurzelterm mithilfe der Rechenregegel für Potenzen \(\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\) vorab in der Potenzschreibweise formuliert werden.

 

\[f(x) = \sqrt{8 - 2x} = (8 - 2x)^{\frac{1}{2}}; \; D_{f} = \; ]-\infty;4]\]

 

1. Möglichkeit (ohne Formulierung in der Potenzschreibweise):

 

\[f(x) = \sqrt{8 - 2x}\]

\[f'(x) = \frac{-\cancel{2}}{\cancel{2}\sqrt{8 - 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{8 - 2x}}\]

 

2. Möglichkeit (nach Formulierung in der Potenzschreibweise):

 

\[f(x) = (8 - 2x)^{\frac{1}{2}}\]

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (8 - 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2) &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{-\cancel{2}}{\sqrt{8 - 2x}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{\sqrt{8 - 2x}} \end{align*}\]

 

Das Vorzeichen von \(f'(x)\) lässt auf das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) schließen.

\(\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{\underbrace{\sqrt{8 - 2x}}_{> \, 0}}; \; D_{f'} = \; ]-\infty;4[ \quad \Longrightarrow \quad f'(x) < 0\) für \(x \in \; ]-\infty;4[\)

 

Da \(f'\) an der Stelle \(x = 4\) nicht definiert ist, erfolgt zusätzlich die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \, \to \, 4^{-}} f'(x)\).

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, 4^{-}} f'(x) = \lim \limits_{x\,\to\,4^{-}} -\frac{1}{\underbrace{\sqrt{8 - 2x}}_{\Large{\to\,0^{+}}}} = -\infty\]

 

Also fällt \(G_{f}\) in \(D_{f}\) streng monoton und die Funktion \(f\) ist somit in \(D_{f}\) umkehrbar.

 

Bestimmung des Funktionsterms \(f^{-1}(x)\)

Für die Bestimmung des Funktionsterms \(f^{-1}(x)\) der Umkehrfunktion von \(f\) wird zunächst die Funktionsgleichung \(y = f(x)\) nach der Variablen \(x\) aufgelöst. Anschließend werden die Variablen \(x\) und \(y\) getauscht, wobei nun \(y = f^{-1}(x)\) gilt. Die Schritte lassen sich auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.6 Umkehrfunktion).

\[f(x) = \sqrt{8 - 2x}; \; D_{f} = \; ]-\infty;4]\]

 

\[\begin{align*} y &= f(x) \\[0.8em] y &= \sqrt{8 - 2x} &&| \; (\dots)^{2} \; (\text{Gleichung quadrieren}) \\[0.8em] y^{2} &= 8 - 2x &&| + 2x - y^{2} \\[0.8em] 2x &= -y^{2} + 8 &&| : 2 \\[0.8em] x &= -0{,}5y^{2} + 4 &&| \; \text{Variablentausch} \\[2.4em] y &= -0{,}5x^{2} + 4 &&| \; y = f^{-1}(x) \\[2.4em] \Longrightarrow \quad f^{-1}(x) &= -0{,}5x^{2} + 4 \end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} y &= f(x) \\[0.8em] y &= \sqrt{8 - 2x} &&| \; \text{Variablentausch} \\[2.4em] x &= \sqrt{8 - 2y} &&| \; (\dots)^{2} \; (\text{Gleichung quadrieren}) \\[0.8em] x^{2} &= 8 - 2y &&| + 2y - x^{2} \\[0.8em] 2y &= -x^{2} + 8 &&| : 2 \\[0.8em] y &= -0{,}5x^{2} + 4 &&| \; y = f^{-1}(x) \\[2.4em] \Longrightarrow \quad f^{-1}(x) &= -0{,}5x^{2} + 4 \end{align*}\]

 

Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\)

Bei der Umkehrung einer Funktion werden der Definitionsbereich und der Wertebereich miteinander vertauscht (vgl. ABITUR SKRIPT 1.5.6 Umkehrfunktion).

 

\[D_{f^{-1}} = W_{f} = [0;+\infty] = \mathbb R^{+}_{0}\]

\[W_{f^{-1}} = D_{f} = \; ]-\infty;4]\]

 

c) Zeichnung von \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\) sowie Schraffieren des Flächenstücks mit dem Flächeninhalt \(A\), Berechnung des Flächeninhalts \(A\)

 

Zeichnung von \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\) sowie Schraffieren des Flächenstücks mit dem Flächeninhalt \(A\)

 

Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) berechnen:

 

\[f(x) = \sqrt{8 - 2x}; \; D_{f} = \; ]-\infty;4]\]

 

\[f(0) = \sqrt{8 - 2 \cdot 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8\]

\[f(2) = \sqrt{8 - 2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2\]

\[f(3{,}5) = \sqrt{8 - 2 \cdot 3{,}5} = \sqrt{1} = 1\]

\[f(4) = \sqrt{8 - 2 \cdot 4} = \sqrt{0} = 0\]

 

Der Graph \(G_{f}\) verläuft also durch die Punkte \((0|2\sqrt{2})\), \((2|2)\), \((3{,}5|1)\) und \((4|0)\).

Zudem wurde in Teilaufgabe b gezeigt, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,4^{-}} f'(x) = -\infty\) gilt. Da \(f'\) die Steigung einer Tangente an den Graphen \(G_{f}\) an einer betrachteten Stelle beschreibt, bedeutet dieses Ergebnis, dass \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\) nahezu senkrecht (unendliche Steigung) auf der \(x\)-Achse mündet.

Der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion von \(f\) geht durch Spiegelung des Graphen \(G_{f}\) an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten mit der Gleichung \(y = x\) hervor.

Graph der Funktion f und Graph der Umkehrfunktion von f

Verlauf des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}; \; D_{f} = \; ]-\infty;4]\) und des an der Winkelhalbierenden \(y = x\) gespiegelten Graphen \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1} \colon x \mapsto -0{,}5x^{2} + 4; D_{f} = \mathbb R^{+}_{0}\) im ersten Quadranten des Koordinatensystems 

 

Herzförmiges Flächenstück, das der Graph der Funktion f und der Graph der Umkehrfunktion von f im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließen.

Herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\), das \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\) im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließen.

 

Berechnung des Flächeninhalts \(A\)

Die Winkelhalbierende y = x teilt das Flächenstück mit dem Flächeninhalt A in zwei gleich große Teilflächen.

Die Winkelhalbierende \(y = x\) telt das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) in zwei gleich große Teilflächen. Der Punkt \((2|2) \in G_{f}\) liegt auf der Winkelhalbierenden und ist damit Schnittpunkt von \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\).

Betrachtet wird beispielsweise der Flächeninhalt \(\frac{A}{2}\) des Flächenstücks, das der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) und die Winkelhalbierende \(y = x\) im Intervall \([0;2]\) einschließen. Dann gilt (vgl. ABITUR SKRIPT 1.6.4 Flächenberechnung, Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen):

\[\begin{align*}A &= 2 \cdot \underbrace{ \int_{0}^{2} \left[ f^{-1}(x) - x \right] dx}_{\Large{\frac{A}{2}}} \\[0.8em] &= 2 \cdot \int_{0}^{2} \left( -0{,}5x^{2} + 4 - x \right) dx \\[0.8em] &= 2 \cdot \int_{0}^{2} \left( -0{,}5x^{2} - x + 4 \right) dx \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Grundsätzlich kann auch der Flächeninhalt \(\frac{A}{2}\) des Flächenstücks betrachtet werden, das die Winkelhalbierende \(y = x\) sowie \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Allerdings muss dann über die Wurzelfunktion \(f\) integriert werden, was den Rechenaufwand (Stammfunktion bestimmen) erhöht. 

 

Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{2} \left( -0{,}5x^{2} - x + 4 \right) dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto -0{,}5x^{2} - x + 4\) benötigt.

Die Menge aller Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto -0{,}5x^{2} - x + 4\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \left(-0{,}5x^{2} - x + 4\right) dx\).

Mithilfe des wichtigen unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \; (r \neq -1)\) ergibt sich:

\[\begin{align*}\int \left(-0{,}5x^{2} - x + 4\right) dx &= -0{,}5 \cdot \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 4x + C \\[0.8em] &= -\frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 4x + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist die Funktion \(x \mapsto -\frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 4x\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto -0{,}5x^{2} - x + 4\).

 

Damit kann der Flächeninhalt \(A\) wie folgt berechnet werden:

\[\begin{align*}A &= 2 \cdot \int_{0}^{2} \left( -0{,}5x^{2} - x + 4 \right) dx \\[0.8em] &= 2 \cdot \left[ -\frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 4x \right]_{0}^{2} \\[0.8em] &= 2 \cdot \left[ -\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 - \left( -\frac{1}{6} \cdot 0^{3} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 \right) \right] \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( -\frac{4}{3} - 2 + 8 - 0 \right) \\[0.8em] &= \frac{28}{3} \\[0.8em] &= 9\frac{1}{3} \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\) im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließen, beträgt \(9\frac{1}{3}\) FE (Flächeneinheiten).

 

Alternative:

Flächenstücke, welche der Graph der Umkehrfunktion von f bzw. die Winkelhalbierende y = x im Intervall [0;2] mit der x-Achse einschließen.

Der Flächeninhalt \(\frac{A}{2}\) lässt sich als Differenz der Flächeninhalte der Flächenstücke berechnen, welche \(G_{f^{-1}}\) bzw. die Winkelhalbierende \(y = x\) im Intervall \([0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließen.

Somit kann der Flächeninhalt \(A\) wie folgt berechnet werden:

\[\begin{align*}A &= 2 \cdot \bigg( \underbrace{\int_{0}^{2} f^{-1}(x) dx - A_{\triangle}}_{\Large{\frac{A}{2}}} \bigg) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( \int_{0}^{2} \left( -0{}5x^{2} + 4 \right) dx - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( \left[ -\frac{1}{6}x^{3} + 4x \right]_{0}^{2} - 2 \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \left[ -\frac{1}{6} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2 - \left( -\frac{1}{6} \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0 \right) - 2 \right] \\[0.8em] &= 2 \cdot \left( -\frac{4}{3} + 8 - 0 - 2 \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{14}{3} \\[0.8em] &= \frac{28}{3} \\[0.8em] &= 9\frac{1}{3} \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\) im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließen, beträgt \(9\frac{1}{3}\) FE (Flächeneinheiten).

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