Lösung - Aufgabe 3

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) mit \(\lambda, \mu \in \mathbb R\). Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

a) Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}; \; k \in \mathbb R\), so verlaufen die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander.

b) Gilt \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0\), so schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) rechtwinklig.

a) Bewertung der Aussage „Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}; \; k \in \mathbb R\), so verlaufen die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander."

Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}; \; k \in \mathbb R\), so sind die Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) linear abhängig und zueinander parallel (vgl. ABITUR SKRIPT 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren).

Die Geraden \(g\) und \(h\) können dann echt parallel zueinander verlaufen oder identisch sein. Um die Parallelität von \(g\) und \(h\) zu betätigen, muss zusätzlich mithilfe einer Punktprobe bestätigt werden, dass beispielsweise \(A \notin h\) bzw. \(B \notin g\) gilt (ABITUR SKRIPT 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden).

 

b) Bewertung der Aussage „Gilt \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0\), so schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) rechtwinklig."

Gilt \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0\), so sind die Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) zueinander senkrecht (vgl. ABITUR SKRIPT 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).

Die Geraden \(g\) und \(h\) müssen sich dann aber nicht zwangsläufig rechtwinklig schneiden. Sie können auch windschief zueinander sein (ABITUR SKRIPT 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden).

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