Lösung - Aufgabe 1

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{a} \colon x \mapsto 0{,}5x^{2} - ax + 6\) mit \(a \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie denjenigen Wert des Parameters \(a\), sodass die Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f_{a}(t) dt\) die Nullstelle \(x = 6\) besitzt.

Der Funktionswert der Integralfunktion \(I_{a}\) soll für \(x = 6\) gleich Null sein. Es muss also \(I_{a}(6) = 0\) gelten.

 

\[I_{a}(6) = \int_{0}^{6} f_{a}(t) dt = \int_{0}^{6} \left( 0{,}5t^{2} - at + 6 \right) dt = 0\]

 

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{0}^{6} \left( 0{,}5t^{2} - at + 6 \right) dt\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(a\) beschreiben. Hierfür wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(t \mapsto 0{,}5t^{2} - at + 6\) benötigt. Diese kann mithilfe des wichtigen unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \; (r \neq -1)\) gebildet werden.

\[\begin{align*}\int \left( 0{,}5t^{2} - at + 6 \right) dt &= 0{,}5 \cdot \frac{t^{3}}{3} - a \cdot \frac{t^{2}}{2} + 6t + C \\[0.8em] &= \frac{1}{6}t^{3} - \frac{1}{2}at^{2} + 6t + C \end{align*}\]

 

Für \(C = 0\) ist die Funktion \(t \mapsto \frac{1}{6}t^{3} - \frac{1}{2}at^{2} + 6t\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(t \mapsto 0{,}5t^{2} - at + 6\).

 

Damit lässt sich die Gleichung \(I_{a}(6) = 0\) wie folgt lösen:

\[\begin{align*} I_{a}(6) &= 0 \\[0.8em] \int_{0}^{6} \left( 0{,}5t^{2} - at + 6 \right) dt &= 0 \\[0.8em] \left[ \frac{1}{6}t^{3} - \frac{1}{2}at^{2} + 6t \right]_{0}^{6} &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{6} \cdot 6^{3} - \frac{1}{2} \cdot a \cdot 6^{2} + 6 \cdot 6 - \left( \frac{1}{6} \cdot 0^{3} - \frac{1}{2} \cdot a \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0 \right) &= 0 \\[0.8em] 36 - 18a + 36 - 0 &= 0 \\[0.8em] 72 - 18a &= 0 &&| + 18a \\[0.8em] 72 &= 18a &&| : 18 \\[0.8em] 4 &= a \end{align*}\]

 

Für \(a = 4\) besitzt die Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f_{a}(t) dt\) die Nullstelle \(x = 6\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Aufgaben Lösung - Aufgabe 2 »