Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_f\) der gebrochenrationalen Funktion \(f\).
Geben Sie in Stichpunkten alle Eigenschaften der Funktion \(f\) an, die Sie dem Graphen \(G_f\) entnehmen können und bestimmen Sie damit einen möglichst einfachen Funktionsterm der Funktion \(f\).
Eigenschaften der Funktion \(f\)
- einfache Nullstelle \(x = -2\)
- doppelte Nullstelle \(x = 2\)
- Polstelle \(x = -3\) mit Vorzeichenwechsel (VZW)
- Polstelle \(x = 3\) ohne VZW
- \(\lim \limits_{x \,\to\,- \infty} f(x) = 1{,}5\) und \(\lim \limits_{x \,\to\,+ \infty} f(x) = 1{,}5\)
Möglichst einfacher Funktionsterm von \(f\)
\(f(x) = \dfrac{3 \cdot (x+2) \cdot (x-2)^2}{2 \cdot (x+3) \cdot (x-3)^2}\) mit \(D_f = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\)
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Dem Graphen \(G_f\) lassen sich folgende Eigenschaften von \(f\) entnehmen:
An der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x = -2}\) schneidet \(G_f\) die \(x\)-Achse „schräg". Die Funktion \(f\) besitzt somit die einfache Nullstelle \(\textcolor{#e9b509}{x=-2}\).
An der Stelle \(\textcolor{#e9b509}{x = 2}\) berührt \(G_f\) die \(x\)-Achse. Deshalb besitzt \(f\) dort eine Nullstelle gerader Ordnung (doppelt, vierfach, ...). Da \(G_f\) in der Umgebung der Nullstelle nicht besonders flach verläuft, kann von einer doppelten Nullstelle ausgegangen werden.
An der Stelle \(x = -3\) besitzt \(G_f\) die senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{x = -3}\). Da \(G_f\) links- und rechtsseitig der senkrechten Asymptote entgegengesetzt gegen Unendlich verläuft, ist \(\textcolor{#cc071e}{x = -3}\) eine Polstelle mit VZW von \(f\).
An der Stelle \(x = 3\) besitzt \(G_f\) die senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{x = 3}\). Da \(G_f\) links- und rechtsseitig der senkrechten Asymptote gleichermaßen gegen Unendlich verläuft, ist \(\textcolor{#cc071e}{x = -3}\) eine Polstelle ohne VZW von \(f\).
Für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) besitzt \(G_f\) die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 1{,}5}\).
Somit gilt \(\lim \limits_{x \,\to\,- \infty} f(x) = \textcolor{#0087c1}{1{,}5}\) und \(\lim \limits_{x \,\to\,+ \infty} f(x) = \textcolor{#0087c1}{1{,}5}\).
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(p(x)\) und \(q(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(q(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Einen möglichst einfachen Funktionsterm von \(f\) bestimmen:
Ansatz: \(f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}\) mit \(q(x) \neq 0\) (Zählerpolynom \(p(x)\), Nennerpolynom \(q(x)\))
Ein Polynom ist ein Term, der aus einer Summe von Vielfachen von Potenzen besteht. Ein Polynom lässt sich in Kenntnis der Nullstellen vollständig faktorisieren.
Beispiel: \(2x^3-4x^2-10x+12 = 2(x-1)(x+2)(x-3)\) (ohne Nachweis)
Berücksichtigung der Nullstellen von \(\boldsymbol{f}\)
Der Wert des Quotienten \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) ist null, wenn der Wert des Zählerpolynoms \(p(x)\) null ist. Deshalb kann das Zählerpolynom \(p(x)\) anhand der Nullstellen und deren Vielfachheit in der vollständig faktorisierten Form angegeben werden.
- einfache Nullstelle \(\textcolor{#e9b509}{x = -2}\)
- doppelte Nullstelle \(\textcolor{#e9b509}{x = 2}\)
\[\Rightarrow f(x) = \dfrac{\textcolor{#e9b509}{(x+2)} \cdot \textcolor{#e9b509}{(x-2)^2}}{q(x)}\]
Berücksichtigung der Polstellen von \(\boldsymbol{f}\)
Polstellen sind Nullstellen des Nennerpolynoms \(q(x)\) und damit Definitionslücken von \(f\).
Polstellen mit VZW sind Nullstellen ungerader Ordnung (einfach, dreifach, ...) und Polstellen ohne VZW sind Nullstellen gerader Ordnung (zweifach, vierfach, ...) von \(q(x)\).
- Polstelle \(\textcolor{#cc071e}{x = -3}\) mit VZW
- Polstelle \(\textcolor{#cc071e}{x = 3}\) ohne VZW
\[\Rightarrow f(x) = \dfrac{\textcolor{#e9b509}{(x+2)} \cdot \textcolor{#e9b509}{(x-2)^2}}{\textcolor{#cc071e}{(x+3)} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x-3)^2}}\]
Berücksichtigung der waagrechten Asymptote von \(\boldsymbol{G_f}\)
\(G_f\) besitzt für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(\textcolor{#0087c1}{y = 1{,}5}\).
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion besitzt eine waagrechte Asymptote, wenn der Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist. Diese Voraussetzung ist mit dem bisherigen Funktionsansatz gegeben, denn beide Polynome sind vom Grad 3.
\[f(x) = \dfrac{\textcolor{#e9b509}{(x+2)} \cdot \textcolor{#e9b509}{(x-2)^2}}{\textcolor{#cc071e}{(x+3)} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x-3)^2}} = \frac{x^3 \dots}{x^3 \dots}\]
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(p(x)\) und \(q(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(q(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
Die Gleichung der waagrechten Asymptote ergibt sich dann aus dem Quotienten der Leitkoeffizienten. Der Leitkoeffizient ist der Faktor vor der höchsten vorkommenden Potenz eines Polynoms.
Mit \(\textcolor{#0087c1}{y = 1{,}5} = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{3}}{\textcolor{#0087c1}{2}}\) folgt:
\(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{3} \cdot \textcolor{#e9b509}{(x+2)} \cdot \textcolor{#e9b509}{(x-2)^2}}{\textcolor{#0087c1}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x+3)} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x-3)^2}} = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{3}x^3 \dots}{\textcolor{#0087c1}{2}x^3 \dots}\) mit \(D_f = \mathbb R \backslash \{\textcolor{#cc071e}{-3};\textcolor{#cc071e}{3}\}\)
