Beurteilen Sie folgende Aussage:
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion, bei der das Zähler- und das Nennerpolynom jeweils höchstens Grad 2 aufweist, kann mit einer Gerade maximal drei gemeinsame Punkte haben.
Die Aussage ist richtig.
Begründung
Die maximal mögliche Anzahl gemeinsamer Punkte ergibt sich, falls das Nennerpolynom \(q(x)\) einer gebrochenerationalen Funktion \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) vom Grad 2 ist und die Funktion \(g(x)\) einer Gerade eine lineare Funktion ist. Dann führt der Ansatz für die Bestimmung der gemeinsamen Punkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme und anschließender Umformung auf die Bestimmung der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3. Diese kann maximal drei Nullstellen haben.
Ergänzende Rechnung (optional):
\[\begin{align*} f(x) &= g(x) \\[0.8em] \frac{p(x)}{\textcolor{#cc071e}{\underset{\text{Grad 2}}{q(x)}}} &= \textcolor{#0087c1}{\underset{\text{Grad 1}}{g(x)}} &&| \cdot \textcolor{#cc071e}{q(x)} \\[0.8em] p(x) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{g(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{q(x)}}_{\text{Grad 3}} &&| - \textcolor{#0087c1}{g(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{q(x)} \\[0.8em] \underbrace{p(x) - \textcolor{#0087c1}{g(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{q(x)}}_{\text{Grad 3}} &= 0\end{align*}\]
