Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x) = \frac{3}{4}x^2 + x\).

Bestimmen Sie mit Hilfe des Differentialquotienten die Steigung des Graphen von \(g\) an der Stelle \(x_0 = -2\). Verwenden Sie die \(\boldsymbol{h}\)-Methode.

 

\(g'(-2)\) ist die Steigung des Graphen von \(g\) an der Stelle \(x_0 = -2\).

 

Mithilfe des Differentialquotienten unter Verwendung der \(h\)-Methode:

\[g'(-2) = \lim \limits_{h\,\to\,0} \frac{g(-2+h) - g(-2)}{h}\]

Differenzenquotient - mittlere Änderungsrate / Differentialquotient - lokale Änderungsrate

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Der Differenzenquotient \(m_S = \dfrac{f(b) -f(a)}{b-a}\) beschreibt die Steigung einer Sekante durch die Graphenpunkte \((a|f(a))\) und \((b|f(b))\).

Bedeutung

  • Mittlere Steigung von \(G_f\) im Intervall \([a;b]\)
  • Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([a;b]\)
  • Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitraum \([t_1;t_2]\)

Differenzenquotient, Steigung einer Sekante durch die Graphenpunkte (a|f(a)) und (b|f(b))

Beispiel

Eine Funktion \(f\) beschreibt die Schadstoffemission eines Industrieschornsteins in Kubikmeter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten.

\(m_S = \dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}\) beschreibt dann die Emissionsrate in Kubikmeter pro Minute im Zeitraum \([t_1;t_2]\).

Der Differentialquotient \(f'(x_0) = \lim \limits_{x \,\to \,x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) (\(x_0\)-Methode) bzw. \(f'(x_0) = \lim \limits_{h\,\to\,0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\) (\(h\)-Methode) beschreibt die Steigung der Tangente im Punkt \((x_0|f(x_0))\).

Bedeutung

  • Formale Definition der Ableitung
  • Steigung von \(G_f\) an der Stelle \(x_0\)
  • Lokale Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(x_0\)
  • Momentane Änderungsrate von \(f\) zu einem Zeitpunkt \(t\)

Differentialquotient, Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x₀|f(x₀))

Beispiel

Eine Funktion \(f\) beschreibt die Schadstoffemission eines Industrieschornsteins in Kubikmeter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten.

Dann beschreibt \(f'(t_1) = \lim \limits_{t \,\to\,t_1} \dfrac{f(t) - f(t_1)}{t - t_1}\) die momentane Emissionsrate in Kubikmeter pro Minute zum Zeitpunkt \(t_1\).

1. Differenzenquotienten vereinfachen

Ziel ist es, den Zähler des Differenzenquotienten \(\dfrac{g(-2+h) - g(-2)}{h}\) so umzuformen, dass \(h\) gekürzt werden kann. Das funktioniert bei ganzrationalen Funktionen durch Ausklammern von \(h\) immer, andernfalls hat man sich verrechnet. 

\[g(x) = \frac{3}{4}x^2 + x\]

 

\[\begin{align*}\frac{g(\textcolor{#cc071e}{-2+h}) - g(\textcolor{#0087c1}{-2})}{h} &= \frac{\frac{3}{4}(\textcolor{#cc071e}{-2+h})^2 + \textcolor{#cc071e}{(-2) + h} - \left( \frac{3}{4} \cdot \textcolor{#0087c1}{(-2)}^2 +\textcolor{#0087c1}{(-2)} \right)}{h} &&|\; \text{1. binomische Formel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{\frac{3}{4}(4 -4h+h^2) - 2+h - (3 - 2)}{h} \\[0.8em] &= \frac{3 - 3h + \frac{3}{4}h^2 - 2 + h - 3 + 2}{h} \\[0.8em] &= \frac{\frac{3}{4}h^2 - 2h}{h} &&| \; h \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \frac{\cancel{h} \cdot \left( \frac{3}{4}h -2 \right)}{\cancel{h}} \\[0.8em] &= \frac{3}{4}h - 2\end{align*}\]

 

2. Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\boldsymbol{h \to 0}\) bestimmen

\[\lim \limits_{h\,\to\,0} \left( \frac{3}{4}h-2 \right) = -2\]

 

An der Stelle \(x_0 = -2\) hat der Graph von \(g\) die Steigung \(-2\).