Teilaufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{2x + 3}{4x + 5}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Geben Sie \(D\) an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung \(f'\) von \(f\).

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Maximale Definitionsmenge \(D_f\)

 

Die Nullstelle des Nennerterms bestimmt die maximale Definitionsmenge der Funktion \(f\).

 

\[f(x) = \frac{2x + 3}{4x + 5}\]

 

\[\Longrightarrow \quad 4x + 5 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = -1{,}25 \quad \Longrightarrow \quad D_f = \mathbb R \backslash \{-1{,}25\}\]

 

Erste Ableitung \(f'(x)\)

\[\begin{align*}f(x) = \frac{2x + 3}{4x + 5} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= \frac{2 \cdot (4x + 5) - (2x + 3) \cdot 4}{(4x +5)^2} \\[0.8em] &= \frac{8x + 10 -8x -12}{(4x + 5)^2} \\[0.8em] &= -\frac{2}{(4x + 5)^2}\end{align*}\]

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