Teilaufgabe 2

Zeigen Sie, dass \(F : x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (2\ln x - 1)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+\) eine Stammfunktion der in \(\mathbb R^+\) definierten Funktion \(f : x \mapsto x \cdot \ln x\) ist. Bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von \(f\), die in \(x = 1\) eine Nullstelle hat.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Nachweis der Stammfunktion \(F(x)\)

\[F(x) = \frac{1}{4}x^2 \cdot (2\ln x - 1); \qquad D = \mathbb R^+\]

\[f(x) = x \cdot \ln x\]

 

Zu beweisen: \(F'(x) = f(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \left ( \frac{1}{4}x^2 \cdot (2\ln x - 1) \right )' = x \cdot \ln x\)

\[\begin{align*} F'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{4}x \cdot (2\ln x - 1) + \frac{1}{4}x^2 \cdot \frac{2}{x} \\[0.8em] &= x \cdot \ln x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x \\[0.8em] &= x \cdot \ln x \\[0.8em] F'(x) &= f(x) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad F(x)\) ist Stammfunktion von \(f(x)\).

 

Stammfunktion von \(f\), die in \(x = 1\) eine Nullstelle hat

 

Die Menge aller Stammfunktionen von \(f\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral:

 

\[\int f(x)\,dx = F(x) + C; \qquad C \in \mathbb R\]

 

Die gesuchte Stammfunktion \(F_C(x)\), die in \(x = 1\) eine Nullstelle hat, unterscheidet sich von \(F(x)\) nur um eine additive Integrationskonstnate \(C\).

 

\[F_C(x) = F(x) + C \quad \Longleftrightarrow \quad F_C(x) = \frac{1}{4}x^2 \cdot (2\ln x - 1) + C\]

 

Die Bedingung, dass die Stamfunktion \(F_C(x)\) in \(x = 1\) ein Nullstelle haben soll, legt die Integrationskonstante \(C\) fest:

 

\[\begin {align*}F_C(1) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{4} \cdot 1^2 \cdot (2 \underbrace{\ln 1}_{0} - 1) + C &= 0 \\[0.8em] -\frac{1}{4} + C &= 0 \\[0.8em] C &= \frac{1}{4} \end {align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F_{\frac{1}{4}}(x) = \frac{1}{4}x^2 \cdot (2\ln x - 1) + \frac{1}{4}\]

 

Verschiebung des Graphen der Stammfunktion F in y-Richtung um den Wert der Integrationskonstante C

Der Graph von \(F_{\frac{1}{4}}\) geht aus dem Graphen von \(F\) durch Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(C = \frac{1}{4}\) hervor.

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