Mathematik Abitur Bayern 2011 G8 Analysis I Teil 2 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1a

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Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 3}\) mit Definitionsmenge \(D_f\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), einen beliebigen Punkt \(Q(x|f(x))\) auf \(G_f\) sowie den Punkt \(P(1{,}5|0)\) auf der \(x\)-Achse.

Abbildung 1 Teilaufgabe 1aAbb. 1

Begründen Sie, dass \(D_f = [-3;+\infty[\) die maximale Definitionsmenge von \(f\) ist. Wie geht \(G_f\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R_0^+\) definierten Funktion \(w : x \mapsto \sqrt{x\;}\;\) hervor?

(2 BE)

Teilaufgabe 1b

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Zeigen Sie, dass für die Entfernung \(d(x)\) des Punktes \(Q(x|f(x))\) vom Punkt \(P(1{,}5|0)\) gilt: \(d(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}\).

(4 BE)

Teilaufgabe 1c

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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts \(Q_E(x_E|y_E)\), der von \(P\) den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie \(Q_E\) in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: \(x_E = 1\))

(7 BE)

Teilaufgabe 1d

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Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(Q_E\) senkrecht zueinander sind.

(5 BE)

Teilaufgabe 1e

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Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird.

(6 BE)

Teilaufgabe 2a

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Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_g\) einer in \(\mathbb R \backslash \{1\}\) definierten gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit folgenden Eigenschaften:

  • Die Funktion \(g\) hat in \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;

  • \(G_g\) verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) gegeben ist;

  • die einzige Nullstelle von \(g\) ist \(x = -1\).

Abbildung 2, Teilaufgabe 2a, Graph der gebrochen-rationalen Funktion g Abb. 2

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung \(g'\) von \(g\) an der Stelle \(x = -1\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung \(g'\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\). Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von \(g'\) in Abbildung 2.

(6 BE)

Teilaufgabe 2b

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Die Funktion \(g\) hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\):

\[\textsf{I}\quad y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]
\[\textsf{II}\quad y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{x - 1}\]
\[\textsf{III}\quad y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von \(g\) infrage kommt.

Die Funktionsgleichung von \(g\) hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\).

(5 BE)

Teilaufgabe 2c

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Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von \(h\) an.

(5 BE)