Teilaufgabe 1e

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Analysis I

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Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse un der Strecke PQ begrenzt.

 

Der Inhalt des Flächenstücks \(A\), das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird, ist die Summe der Flächeninhalte

- \(A_1\): Flächenstück, das \(G_f\) mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x = 1\) begrenzt und

- \(A_2\): Dreieck, das die Strecke \([PQ_E]\) mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x = 1\) bildet.

 

\[A = A_1 + A_2 = \int_{-3}^{1} f(x) \, dx + \frac{1}{2} \cdot (x_P - x_{Q_E}) \cdot y_{Q_E}\]

 

Flächeninhaltsberechnung durch Integration

 

\[A_1 = \int_{-3}^{1} f(x)~dx\]

Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\):

\[\begin {align*} f(x) = \sqrt{x + 3} = (x + 3)^{\frac{1}{2}} \quad \Longrightarrow \quad F(x) &= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot (x + 3)^{\frac{3}{2}} + C \\[0.8em] &= \frac{2}{3}(x + 3)^{\frac{3}{2}} + C \end {align*}\]

 

Flächeninhalt \(A_1\) berechnen:

 

\[ \begin{align*} A_1 &= \int_{-3}^{1} f(x)\;dx \\[0.8em] &= \int_{-3}^{1} \sqrt{x + 3}\;dx \\[0.8em] &= \left [ \frac{2}{3} (x + 3)^{\frac{3}{2}}\right ]_{-3}^{1} \\[0.8em] &= \frac{2}{3} (1 + 3)^{\frac{3}{2}} - \left [ \frac{2}{3} (-3 + 3)^{\frac{3}{2}}\right ] \\[0.8em] &= \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \\[0.8em] &= 5 \frac{1}{3} \end{align*} \]

 

Flächeninhalt \(A_2\) berechnen:

 

\[A_2 = \frac{1}{2} \cdot (x_P - x_{Q_E}) \cdot y_{Q_E} = \frac{1}{2}\cdot (1{,}5 - 1) \cdot 2 = \frac{1}{2}\]

 

\[\Longrightarrow \quad A = A_1 + A_2 = 5\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 5\frac{5}{6} \approx 5{,}83\]

 

Der Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\), der \(x\)-Achse und der Strecke \([PQ_E]\) begrenzt wird, beträgt ca. \(5{,}83\) FE (Flächeneinheiten).

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