Teilaufgabe 2b

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Analysis I

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Die Funktion \(g\) hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\):

\[\textsf{I}\quad y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]
\[\textsf{II}\quad y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{x - 1}\]
\[\textsf{III}\quad y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von \(g\) infrage kommt.

Die Funktionsgleichung von \(g\) hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Begründung, weshalb eine Gleichung der Form I bzw. II nicht infrage kommt

 

Gleichung der Form I

 

\[y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \left ( x -1 + \frac{a}{(x - 1)^2} \right ) = \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} (x - 1)\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Eine Gleichung der Form I besitzt die Gerade \(y = x - 1\) als schräge Asymptote. Form I kommt deshalb nicht als Funktionsgleichung für \(g\) infrage.

 

Gleichung der Form II

 

\[y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{x - 1}\]

 

Wegen der einfachen Nullstelle des Nennerterms \(x - 1\) hat jeder Graph einer Funktionsgleichung der Form II in \(x = 1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Form II kommt deshalb nicht als Funktionsgleichung für \(g\) infrage.

 

Bestimmung von \(a\)

 

\[g(x) = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

 

Mit \(g(-1) = 0\) (siehe Angabe) folgt:

 

\[\begin {align*} 0 &= \frac{1}{2} \cdot (-1) - 1 + \frac{a}{(-1 - 1)^2} \\[0.8em] 0 &= -\frac{3}{2} + \frac{a}{4} \\[0.8em] a &= \frac{3}{2} \cdot 4 \\[0.8em] a &= 6 \end {align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad g(x) = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{6}{(x - 1)^2}\]

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