Teilaufgabe 2c

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\[h(x) = \ln \left ( g(x) \right ) = \ln \left ( \frac{1}{2}x - 1 + \frac{6}{(x - 1)^2} \right )\]

 

Maximale Definitionsmenge von \(h\)

 

Der Definitionsbereich des Logarithmus \(\left( \mathbb R^+ \right) \) und der Definitionsbereich von \(g\) bestimmen die maximale Definitionsmenge von \(h\). Mit \(D_g = \mathbb R \backslash \{1\}\) folgt:

 

\(g(x) > 0\) für \(x \in \enspace ]-1;1[\) und \(x \in \enspace]1;+\infty[\) (siehe Abbildung 2)

 

\[\Longrightarrow \quad D_h = \enspace ]-1;1[ \enspace \cup \enspace ]1;+\infty[ \enspace = \enspace ]-1;+\infty[ \enspace \backslash \enspace {1}\]

 

Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\)

 

Verhalten von \(h\) für \(x \to -1^+\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, -1^+} g(x) = 0^+\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, 0^+} \ln x = -\infty\]

 

\[\Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, -1^+} h(x) = -\infty\]

 

Verhalten von \(h\) für \(x \to 1^-\) und \(x \to 1^+\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, 1^-} g(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, 1^+} g(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \ln x = +\infty\]

 

\[\Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, 1^-} h(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, 1^+} h(x) = +\infty\]

 

Verhalten von \(h\) für \(x \to +\infty\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} g(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \ln x = +\infty\]

 

\[\Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} h(x) = +\infty\]

 

Näherungswert für die Nullstelle von \(h(x)\)

 

\[h(x) = \ln \left ( g(x) \right )\]

 

Es gilt: \(\ln 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad g(x) = 1\) an der Stelle \(x \approx -0{,}6\)

 

\(\Longrightarrow \quad x_N = -0{,}6\) ist ein Näherungswert für die Nullstelle von \(h\).

 

Verlauf des Graphen von \(h\)