Teilaufgabe 1

Skizzieren Sie den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f : x \mapsto 4 - x^2\). Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Skizze der Funktion \(f\)

 

quadratische Funktion f, nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel S(0|4), Öffnungsfaktor -0,5 )

 

Der Graph der Funktion \(f(x) = 4 - x^2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Öffnungsfaktor \(a = -1\) und dem Scheitelpunkt \(S(0|4)\). Sie entsteht durch Spiegelung der Normalparabel \(y = x^2\) an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(c = 4\) in Richtung der \(y\)-Achse.

 

Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) mit der \(x\)-Achse einschließt

 

Flächeninhalt, den die Funktion f zwischen x = -2 und x = 2 mit der x-Achse einschließt.

 

Das bestimmte Integral \(\int_{-2}^{2} f(x)~dx\) ist gleich dem Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) zwischen den Nullstellen \(x_{N_1} = -2\) und \(x_{N_2} = 2\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

\[A = \int_{-2}^{2} f(x)~dx\]

 

Nullstellen der Funktion \(f\) bestimmen:

 

\[\begin {align*} f(x) &= 4 - x^2 \\[0.8em] &= (x - 2)(x + 2) \end {align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_{N_{1,2}} = \pm 2\]

 

Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) bestimmen:

\[f(x) = 4 - x^2 \quad \Longrightarrow \quad F(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3 + C\]

 

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

\[\begin{align*} A &= \int_{-2}^{2} f(x)\;dx \\[0.8em] &= \int_{-2}^{2} \left ( 4 - x^2 \right )\;dx \\[0.8em] &= \left [4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} \\[0.8em] &= 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 - \left ( 4 \cdot (-2) - \frac{1}{3} \cdot (-2)^3 \right ) \\[0.8em] &= 8 - \frac{8}{3} - \left ( -8 + \frac{8}{3}\right ) \\[0.8em] &= 10 \frac{2}{3} \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt \(A\), des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt beträgt \(10 \;\)\(\frac{2}{3}\) FE (Flächeneinheiten).

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