Teilaufgabe 2

Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \(f : x \mapsto 3\sqrt{x}\;\) an und bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von \(f\), deren Graph den Punkt \((1|4)\) enthält.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Maximale Definitionsmenge von \(f\)

 

\[f(x) = 3\sqrt{x}\]

 

Der Wertebereich des Radikanden bestimmt den Definitionsbereich der Funktion \(f\).

 

\[x \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad D_f = \mathbb R^+_0\]

 

Term der Stammfunktion von \(f\), deren Graph den Punkt \((1|4)\) enthält

\[\begin {align*} f(x) = 3 \sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}} \quad \Longrightarrow \quad F(x) &= 3 \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}} + C \\[0.8em] &= 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + C \end {align*}\]

 

Die Bedingung, dass der Graph von \(F\) den Punkt \((1|4)\) enthalten soll, legt die Integrationskonstante \(C\) fest:

 

\[\begin {align*} F(1) \overset{!}{=} 4 \quad \Longrightarrow \quad 2 \cdot 1^{\frac{3}{2}} + C &= 4 \\[0.8em] 2 + C &= 4 \\[0.8em] C &= 2 \end {align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F(x) = 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + 2\]

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