Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + x\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

 

Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von \(G_f\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts \(E(x_E|y_E)\) von \(G_f\).

(zur Kontrolle: \(x_E = 2 \cdot \ln 3; \enspace f''(x) = 1{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\))

(10 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Monotonieverhalten von \(G_f\)

Erste Ableitung \(f'(x)\) bilden:

\[\begin {align*} f(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= 6 \cdot e^{-0{,}5x} \cdot (-0{,}5) + 1 \\[0.8em] &= -3e^{-0{,}5x} + 1 \end {align*}\]

 

Monotoniekriterien anwenden:

 

\[ \begin{align*} f'(x) &< 0 \\[0.8em] -3e^{-0{,}5x} +1 &< 0 &{} &| -1 \\[0.8em] -3e^{-0{,}5x} &< -1 &{} &| :(-3) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] e^{-0{,}5}x &> \frac{1}{3} &{} &| \ln (\dots) \\[0.8em] -0{,}5x &> \ln{\left ( \frac{1}{3} \right )} \\[0.8em] -0{,}5x &> \ln \left( 3^{-1}\right) \\[0.8em] -0{,}5x &> -\ln 3 &{} &| \cdot (-2) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] x &< 2 \ln 3 \end{align*} \]

 

\[ \begin{align*} f'(x) &> 0 \\[0.8em] -3e^{-0{,}5x} +1 &> 0 \\[0.8em] &\dots \\[0.8em] x &> 2 \ln 3 \end{align*} \]

 

\(f'(x) < 0\) für alle \(x \in \enspace ]-\infty; 2\ln3[ \quad \Longrightarrow \quad G_f\) fällt streng monoton in \(]-\infty; 2\ln3[\)

\(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \enspace ]2\ln3; +\infty[ \quad \Longrightarrow \quad G_f\) steigt streng monoton in \(]2\ln3; +\infty[\)

 

Krümmungsverhalten von \(G_f\)

Zweite Ableitung \(f''(x)\) bilden:

\[\begin {align*} f'(x) = -3e^{-0{,}5x} + 1 \quad \Longrightarrow \quad f''(x) &= -3e^{-0{,}5x} \cdot (-0{,}5) \\[0.8em] &= 1{,}5 \underbrace{e^{-0{,}5x}}_{>~0} \end {align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad f''(x) > 0\) für alle \(x \in D_f \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist linksgekrümmt.

 

Lage und Art des Extrempunkts \(E(x_E|y_E)\) von \(G_f\)

 

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: \(f'(x) = 0\)

 

\[ \begin{align*} f'(x) &= 0 \\[0.8em] -3e^{-0{,}5x} +1 &= 0 &{} &| -1 \\[0.8em] -3e^{-0{,}5x} &= -1 &{} &| :(-3) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] e^{-0{,}5}x &= \frac{1}{3} &{} &| \ln (\dots) \\[0.8em] -0{,}5x &= \ln{\left ( \frac{1}{3} \right )} \\[0.8em] -0{,}5x &= \ln \left( 3^{-1} \right) \\[0.8em] -0{,}5x &= -\ln 3 &{} &| \cdot (-2) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] x &= 2 \ln 3 \end{align*} \]

 

\(\Longrightarrow \quad x_E = 2\ln3\) ist Extremstelle von \(G_f\).

 

Lage des Extrempunkts von \(G_f\)

 

\[\begin {align*} f(x_E) &= f(2\ln3) \\[0.8em] &= 6 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2\ln3} + 2\ln3 \\[0.8em] &= 6 \cdot e^{\ln{\left ( \frac{1}{3} \right )}} + 2\ln3 \\[0.8em] &= 6 \cdot \frac{1}{3} + 2\ln3 \\[0.8em] &= 2 + 2\ln3 \end {align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Extrempunkt von \(G_f\) hat die Koordinaten \(E(2\ln3|2 + 2\ln3)\).

 

Art des Extrempunkts von \(G_f\)

 

Aus der Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(G_f\) ist bekannt:

 

\(f'(x) < 0\) für \(x < x_E\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > x_E\)

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Extrempunkt \(E(2\ln3|2 + 2\ln3)\) ist ein Tiefpunkt von \(G_f\).

 

Alternative Begründung mit Hilfe der zweiten Ableitung:

 

\(f''(x) > 0\) für alle \(x \in D_f\) (siehe Krümmungsverhalten von \(G_f\))

\(\Longrightarrow \quad\) Der Extrempunkt \(E(2\ln3|2 + 2\ln3)\) ist ein Tiefpunkt von \(G_f\).

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