Teilaufgabe 1b

Geben Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) an. Machen Sie plausibel, dass \(G_f\) für \(x \to +\infty\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) als schräge Asymptote besitzt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} \Bigg ( 6 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5x}}_{\to \, +\infty} + \underset{\to \, -\infty}{x} \Bigg ) = +\infty\]

 

Für \(x \to -\infty\) strebt die e-Funktion schneller gegen \(+\infty\) als der Linearterm \(x\) gegen \(-\infty\).

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \Bigg ( 6 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5x}}_{\to \, 0} + x \Bigg ) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} x\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Für \(x \to +\infty\) besitzt \(G_f\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) als schräge Asymptote.

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