Teilaufgabe 2a

Analysis II - Teil 2

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\). Die Abbildung zeigt den in \(\mathbb R\) streng monoton fallenden Graphen \(G_h\) von \(h\) sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = 1{,}5\) gegeben ist.

Beschreiben Sie, wie \(G_h\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) hervorgeht.

Abbildung Teilaufgabe 2a: Exponetialfunktion h, streng monoton fallend, Asymptote =1,5

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\(h(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\)

\(f(x) = e^x\)

 

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse

\[f_1(x) = f(-x) = e^{-x}\]

 

2. Streckung in \(x\)-Richtung mit Streckungsfaktor 2

3. Streckung in \(y\)-Richtung mit Streckungsfaktor 6

\[f_2(x) = f(-\frac{x}{2}) = e^{-0{,}5x}\]

 

\[f_3(x) = 6 \cdot f(-\frac{x}{2}) = 6 \cdot e^{-0{,}5x}\]

 

4. Verschiebung in \(y\)-Richtung um 1,5

\[f_4(x) = 6 \cdot f(-\frac{x}{2}) + 1{,}5 = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5 = h(x)\]

 

Entstehung von \(G_h\) aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\)

  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 1

    Ausgangsfunktion: \(\;f(x) = e^x\)

    Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 1

    Ausgangsfunktion: \(\;f(x) = e^x\)

  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 2

    Spiegelung an der \(\,y\)-Achse: \(\;f_1(x) = f(-x) = e^{-x}\)

    Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 2

    Spiegelung an der \(\,y\)-Achse: \(\;f_1(x) = f(-x) = e^{-x}\)

  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 3

    Streckung in \(\,x\)-Richtung mit Streckungsfaktor 2: \(\;f_2(x) = f(-\frac{x}{2}) = e^{-0{,}5x}\)

    Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 3

    Streckung in \(\,x\)-Richtung mit Streckungsfaktor 2: \(\;f_2(x) = f(-\frac{x}{2}) = e^{-0{,}5x}\)

  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 4

    Streckung in \(\,y\)-Richtung mit Streckungsfaktor 6: \(\;f_3(x) = 6 \cdot f(-\frac{x}{2}) = 6 \cdot e^{-0{,}5x}\)

    Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 4

    Streckung in \(\,y\)-Richtung mit Streckungsfaktor 6: \(\;f_3(x) = 6 \cdot f(-\frac{x}{2}) = 6 \cdot e^{-0{,}5x}\)

  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 5

    Verschiebung in \(\,y\)-Richtung um 1,5: \(\;f_4(x) = 6 \cdot f(-\frac{x}{2}) + 1{,}5 = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5 = h(x)\)

    Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 5

    Verschiebung in \(\,y\)-Richtung um 1,5: \(\;f_4(x) = 6 \cdot f(-\frac{x}{2}) + 1{,}5 = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5 = h(x)\)

  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 1
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 2
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 3
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 4
  • Entstehung des Graphen von h aus der natürlichen Exponentialfunktion - Grafik 5
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