Teilaufgabe 2c

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Der Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(h\) mit den Koodinatenachsen und der Geraden \(x = 5\) einschließt, stellt die Schadstoffmenge dar, die die Maschine in den ersten fünf Minuten ausstößt.

Flächeninhaltsberechnung durch Integration

Das bestimmte Integral \(\int_{0}^{5} h(x)~dx\) ist gleich dem Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das der Graph von \(h\) zwischen \(x = 0\) und \(x = 5\) mit den Koordinatenachsen einschließt.

\[A = \int_{0}^{5} h(x)~dx\]

Stammfunktion \(H(x)\) von \(h(x)\)

\[\begin {align*} h(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5 \quad \Longrightarrow \quad H(x) &= 6 \cdot \frac{1}{-0{,}5} \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5x \\[0.8em] &= -12 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5x \end {align*}\]

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

\[\begin{align*}A &= \int_{0}^{5} h(x)\;dx \\[0.8em] &= \int_{0}^{5} \left ( 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5 \right )\;dx \\[0.8em] &= \left [ -12 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5x \right ]_{0}^{5} \\[0.8em] &= -12 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 5} + 1{,}5 \cdot 5 - \left ( -12 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0} + 1{,}5 \cdot 0 \right ) \\[0.8em] &= -12 \cdot e^{-2{,}5} + 7{,}5 + 12 \\[0.8em] &= 19{,}5 - 12 \cdot e^{-2{,}5} \\[0.8em] &\approx 18{,}5 \end{align*}\]

In den ersten fünf Minuten stößt die Maschine ca. 18,5 mg an Schadstoffen aus.