Teilaufgabe 3a

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Analysis II

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Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_a : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x\) mit \(a \in \mathbb R^+\) und Definitionsmenge \(\mathbb R\).

 

Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die \(y\)-Achse im selben Punkt schneiden und in \(\mathbb R\) streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_a(x) = -\infty\) gilt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\[f_a(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x \qquad a \in \mathbb R^+ \qquad D_f = \mathbb R\]

 

Schnittpunkt der Graphen von \(f_a\) mit der \(y\)-Achse

 

\[f_a(0) = 6 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0} - a \cdot 0 = 6\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Graphen der Scharfunktionen schneiden für alle \(a \in \mathbb R^+\) die \(y\)-Achse im Punkt \((0|6)\).

 

Monotonieverhalten der Graphen von \(f_a\)

Erste Ableitung \(f'_a(x)\) bilden:

\[\begin {align*} f_a(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x \quad \Longrightarrow \quad f'_a(x) &= 6 \cdot e^{-0{,}5x} \cdot (-0{,}5) - a \\[0.8em] &= \underbrace{-3e^{-0{,}5x}}_{< \; 0} \underbrace{- \;a}_{< \; 0} \end {align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad f'_a(x) < 0\) für alle \(a \in \mathbb R^+ \quad \Longrightarrow \quad\) Die Graphen aller Scharfunktionen sind in \(\mathbb R\) streng monoton fallend.

 

Verhalten der Graphen von \(f_a\) für \(x \to +\infty\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_a(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \Bigg ( 6 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5x}}_{\to \, 0} - \underbrace{a \cdot x}_{\to \, + \infty} \; \Bigg ) = -\infty\]

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