Teilaufgabe a
Lösung zu Teilaufgabe a
\[A\,(0|60|0), \enspace B\,(-80|60|60), \enspace C\,(-80|0|60)\]
Ebenengleichung der Ebene \(E\) in Normalenform
Richtugsvektoren \(\overrightarrow {u}_E\) und \(\overrightarrow {v}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow B - \overrightarrow A = \begin {pmatrix} -80 \\ 60 \\ 60 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_E = \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow C - \overrightarrow A = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -80 \\ -60 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_E = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix}\]
Normalenvektor \(\overrightarrow {n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:
\[\begin {align*} \overrightarrow{n} &= \overrightarrow{u}_E \times \overrightarrow{v}_E \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 3 & - & 3 & \cdot & (-3) \\ 3 & \cdot & (-4) & - & (-4) & \cdot & 3 \\ (-4) & \cdot & (-3) & - & 0 & \cdot & (-4) \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 9 \\ 0 \\ 12 \end {pmatrix} = 3 \cdot \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \end {align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix}\]
Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:
Es sei \(A\,(0|60|0)\) Aufpunkt der Ebene \(E\).
\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \colon \enspace \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow A \right) = 0 \\[0.8em] &E \colon \enspace \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]
Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:
\[ \begin {align*} \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot (x_1 - 0) + 0 \cdot (x_2 - 60) + 4 \cdot (x_3 - 0) &= 0 \\[0.8em] 3x_1 + 4x_3 &= 0 \end {align*} \]
\[\Longrightarrow \quad E \colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0\]
Besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem
Aus \(\;E \colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0\;\) folgt:
Die Ebene \(E\) enthält den Koordinatenursprung \(O(0|0|0)\).
Der Normalenvektor \(\;\overrightarrow {n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\;\) ist parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene.
\(\Longrightarrow \quad\) Die Ebene \(E\) enthält die \(x_2\)-Achse.
Winkel \(\varphi\) unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Achse schneidet
Ebenengleichung der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\;x_3 = 0\)
Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\;\overrightarrow {n}_{x_1x_2} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}\)
\[\begin {align*} \cos \varphi &= \frac{\vert \overrightarrow{n}_E \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert}{\vert \overrightarrow{n}_E \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|}{\left| \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4\end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 4 \cdot 1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{4}{5 \cdot 1} = 0{,}8 \end {align*}\]
\[\varphi = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9^\circ\]
Der Winkel \(\varphi\) unter dem die Ebene \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet, beträgt ca. \(36{,}9^\circ\).