Teilaufgabe a

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(0|60|0), B\,(-80|60|60)\) und \(C\,(-80|0|60)\) gegeben.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(A, B\) und \(C\) bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat \(E\,\)? Berechnen Sie die Größe des Winkels \(\varphi\), unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet.

(mögliche Teilergebnisse: \(E\colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0; \enspace \varphi \approx 36{,}9^\circ\))

(8 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

\[A\,(0|60|0), \enspace B\,(-80|60|60), \enspace C\,(-80|0|60)\]

 

Ebenengleichung der Ebene \(E\) in Normalenform

Richtugsvektoren \(\overrightarrow {u}_E\) und \(\overrightarrow {v}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow B - \overrightarrow A = \begin {pmatrix} -80 \\ 60 \\ 60 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_E = \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow C - \overrightarrow A = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -80 \\ -60 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_E = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow {n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

\[\begin {align*} \overrightarrow{n} &= \overrightarrow{u}_E \times \overrightarrow{v}_E \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 3 & - & 3 & \cdot & (-3) \\ 3 & \cdot & (-4) & - & (-4) & \cdot & 3 \\ (-4) & \cdot & (-3) & - & 0 & \cdot & (-4) \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 9 \\ 0 \\ 12 \end {pmatrix} = 3 \cdot \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \end {align*}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

 

Es sei \(A\,(0|60|0)\) Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \colon \enspace \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow A \right) = 0 \\[0.8em] &E \colon \enspace \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[ \begin {align*} \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot (x_1 - 0) + 0 \cdot (x_2 - 60) + 4 \cdot (x_3 - 0) &= 0 \\[0.8em] 3x_1 + 4x_3 &= 0 \end {align*} \]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0\]

 

Besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem

 

Aus \(\;E \colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0\;\) folgt:

 

Die Ebene \(E\) enthält den Koordinatenursprung \(O(0|0|0)\).

Der Normalenvektor \(\;\overrightarrow {n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\;\) ist parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Ebene \(E\) enthält die \(x_2\)-Achse.

 

Winkel \(\varphi\) unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Achse schneidet

Ebenengleichung der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\;x_3 = 0\)

Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\;\overrightarrow {n}_{x_1x_2} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}\)

 

\[\begin {align*} \cos \varphi &= \frac{\vert \overrightarrow{n}_E \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert}{\vert \overrightarrow{n}_E \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|}{\left| \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4\end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 4 \cdot 1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{4}{5 \cdot 1} = 0{,}8 \end {align*}\]

 

\[\varphi = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9^\circ\]

 

Der Winkel \(\varphi\) unter dem die Ebene \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet, beträgt ca. \(36{,}9^\circ\).

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