Lösung zu Teilaufgabe a
\[A\,(0|60|0), \enspace B\,(-80|60|60), \enspace C\,(-80|0|60)\]
Ebenengleichung der Ebene \(E\) in Normalenform
Ebenengleichung in Normalenform
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
Richtugsvektoren \(\overrightarrow {u}_E\) und \(\overrightarrow {v}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow B - \overrightarrow A = \begin {pmatrix} -80 \\ 60 \\ 60 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_E = \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow C - \overrightarrow A = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -80 \\ -60 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_E = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix}\]
Normalenvektor \(\overrightarrow {n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:
Vektorprodukt
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
\[\begin {align*} \overrightarrow{n} &= \overrightarrow{u}_E \times \overrightarrow{v}_E \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} -4 \\ -3 \\ 3 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 3 & - & 3 & \cdot & (-3) \\ 3 & \cdot & (-4) & - & (-4) & \cdot & 3 \\ (-4) & \cdot & (-3) & - & 0 & \cdot & (-4) \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 9 \\ 0 \\ 12 \end {pmatrix} = 3 \cdot \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \end {align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix}\]
Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:
Es sei \(A\,(0|60|0)\) Aufpunkt der Ebene \(E\).
\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \colon \enspace \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow A \right) = 0 \\[0.8em] &E \colon \enspace \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]
Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:
Skalarprodukt
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[ \begin {align*} \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot (x_1 - 0) + 0 \cdot (x_2 - 60) + 4 \cdot (x_3 - 0) &= 0 \\[0.8em] 3x_1 + 4x_3 &= 0 \end {align*} \]
\[\Longrightarrow \quad E \colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0\]
Besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem
Aus \(\;E \colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0\;\) folgt:
Die Ebene \(E\) enthält den Koordinatenursprung \(O(0|0|0)\).
Der Normalenvektor \(\;\overrightarrow {n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\;\) ist parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene.
\(\Longrightarrow \quad\) Die Ebene \(E\) enthält die \(x_2\)-Achse.
Winkel \(\varphi\) unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Achse schneidet
Schnittwinkel zweier Ebenen
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen
\[E_1\colon \enspace \overrightarrow{n}_1 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]
\[E_2\colon \enspace \overrightarrow{n}_2 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{B} \right) = 0\]
\[\cos \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \vert}{\vert \overrightarrow{n}_1 \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_2 \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \cos^{-1}(\dots)\]
\[(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ})\]
Ebenengleichung der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\;x_3 = 0\)
Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\;\overrightarrow {n}_{x_1x_2} = \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix}\)
\[\begin {align*} \cos \varphi &= \frac{\vert \overrightarrow{n}_E \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert}{\vert \overrightarrow{n}_E \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|}{\left| \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4\end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 4 \cdot 1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{4}{5 \cdot 1} = 0{,}8 \end {align*}\]
\[\varphi = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9^\circ\]
Der Winkel \(\varphi\) unter dem die Ebene \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet, beträgt ca. \(36{,}9^\circ\).
