Teilaufgabe c

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Geometrie

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Das Rechteck \(OABC\) ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive \(x_1\)-Achse beschreibt die südliche, die positive \(x_2\)-Achse die östliche Himmelsrichtung (im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d.h. die Länge des Grundstücks in West-Ost-Richtung beträgt 60 m.).

Obwohl das Rechteck \(OABC\) den Flächeninhalt 6000 besitzt, ist das Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe von 4800 m2 verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus Aufgabe b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt. Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Senkrechte Projektion des Rechtecks OABS auf die x1x2-Ebene

Vermutung: Bei der Festlegung der Grundstücksgröße wird die senkrechte Projektion eines Grundstücks auf die Horizontalebene (\(x_1x_2\)-Ebene) herangezogen. Auf der Landkarte des Grundbuchamts ist also der Flächeninhalt des Rechtecks \(OAB'C'\) verzeichnet.

 

\[B'(-80|60|0), \enspace C'(-80|0|0)\]

 

Flächeninhalt des Rechtecks \(OAB'C'\)

\[ \begin {align*} A_{OAB'C'} &= \left| \overrightarrow{OA} \right| \cdot \left| \overrightarrow{OC'} \right| \\[0.8em] &= \left| \overrightarrow A \right| \cdot \left| \overrightarrow C' \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 60^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-80)^2 + 0^2 + 0^2} \\[0.8em] &= 60 \cdot 80 \\[0.8em] &= 4800 \end {align*} \]

 

Alternativer Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodukts

\[ \begin {align*} A_{OAB'C'} &= \left| \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC'} \right| \\[0.8em] &= \left| \overrightarrow A \times \overrightarrow C' \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 60 & \cdot & 60 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-80) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 60 & \cdot & (-80) \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4800 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 0^2 + 4800^2} \\[0.8em] &= 4800 \end {align*} \]

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