Teilaufgabe f

Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung.

Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen Verankerungspunkts \(V_O\) bzw. \(V_N\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe f

 

Östlicher Verankerungspunkt \(V_O\)

 

Die positive \(x_2\)-Achse beschreibt die östliche Himmelsrichtung (siehe Teilaufgabe c).

 

\(\Longrightarrow \quad \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix}\) ist Einheitsvektor in östlicher Richtung.

 

\[\begin{align*} \overrightarrow {V}_O &= \overrightarrow M + 15 \cdot \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} + 15 \cdot \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -40 \\ 45 \\ 30 \end {pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad V_O(-40|45|30)\]

 

Nördlicher Verankerungspunkt \(V_N\)

 

Einheitsvektor in nördlicher Hangrichtung:

 

\[\frac{\overrightarrow{OC}}{\left| \overrightarrow{OC} \right|} = \frac{\overrightarrow C}{\left| \overrightarrow C \right|}; \qquad \overrightarrow C = \begin {pmatrix} -80 \\ 0 \\ 60 \end {pmatrix} = 20 \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]

\[\frac{\overrightarrow C}{\left| \overrightarrow C \right|} = \frac{\begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}}{\left| \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix} \right|} = \frac{\begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}}{\sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{1}{5} \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix}\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow {V}_N &= \overrightarrow M + 15 \cdot \frac{\overrightarrow C}{\left| \overrightarrow C \right|} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} + 15 \cdot \frac{1}{5} \cdot \begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} -52 \\ 30 \\ 39 \end {pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad V_N(-52|30|39)\]

 

Lage des östlichen und des nördlichen Verankerungspunktes

Lage des östlichen Verankerungspunktes \(V_O\) und des nördlichen Verankerungspunktes \(V_N\)

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