Teilaufgabe b

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Geometrie

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Alle Punkte \(C^\ast\) im Raum, die zusammen mit \(A\) und \(B\) ein zum Dreieck \(ABC\) kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

4. Lösungsansatz: Höhen- und Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) anweden

5. Lösungsansatz: Fläche des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) bestimmen

 

Lage der beiden Kreise bezüglich der Geraden AB, welche die Punkte C* der zum Dreieck ABC kongruenten Dreiecke ABC* festlegen.

Die Punkte \(C^\ast\) liegen einerseits auf einem Kreis \(k_1\), der durch Rotation des Punktes \(C\) um die Gerade \(AB\) festgelegt wird. Die Länge des Radius \(r\) des Kreises \(k_1\) ist gleich dem Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(AB\). Durch Spiegelung des Punktes \(C\) an einer Ebene \(E\), die den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \([AB]\) enthält und auf der Geraden \(AB\) senkrecht ist, entsteht der Bildpunkt \(C^{\,\prime}\). Weitere Punkte \(C^\ast\) liegen auf einem Kreis \(k_2\), der durch Rotation des Punktes \(C^{\,\prime}\) um die Gerade \(AB\) festgelegt wird. Die Länge des Radius \(r\) des Kreises \(k_2\) ist gleich dem Abstand des Punktes \(C^{\,\prime}\) von der Geraden \(AB\).

 

Es sei \(g\) die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(B\).

 

\[r = d(C, g) = d(C, M_1) = d(C', M_2)\]

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

Lage der Hilfsebene H, welche senkrecht zur Geraden AB steht und den Punkt C enthält

Die Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(C \in H\) und \(H \perp g\) schneidet die Gerade \(g\) im Punkt \(M_1\).

 

Gleichung der Geraden \(g\) aufstellen:

 

\[A\,(1|7|3)\,, \qquad B\,(6|-7|1)\]

 

\[g \colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow B - \overrightarrow A = \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix}\]

 

\[g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix}\]

 

Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(C \in H\) und \(H \perp g\) bestimmen:

 

\[C\,(-2|1|-3)\]

 

\[\overrightarrow {n}_F = \overrightarrow {u}_g = \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix}\]

 

\[H \colon \enspace \overrightarrow{n}_H \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow C \right) = 0\]

\[H \colon \; \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right] = 0\]

 

Schnittpunkt \(M_1\) der Ebene \(H\) mit der Geraden \(g\) ermitteln:

 

Zur Berechnung des Schnittpunktes \(M_1\) setzt man den Ortsvektor \(\overrightarrow X\) aus der Gleichung von \(g\) in die Normalengleichung der Hilfsebene \(H\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\lambda\) auf.

 

\[g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix}\]

\[H \colon \; \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right] = 0\]

\[\begin {align*} g \cap H \colon \enspace \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 5 \cdot (3 + 5 \lambda) - 14 \cdot\ (6 - 14 \lambda) - 2 \cdot (6 - 2 \lambda) &= 0 \\[0.8em] 15 + 25 \lambda - 84 + 196 \lambda -12 + 4 \lambda &= 0 \\[0.8em] -81 + 225 \lambda &= 0 \\[0.8em] \lambda &= \frac{9}{25}\end {align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = \frac{9}{25}\) in \(g\) einsetzen:

 

\[M_1 \in g \colon \enspace \overrightarrow {M}_1 = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \frac{9}{25} \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{49}{25} \\ \frac{57}{25} \end {pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([CM_1]\) berechnen:

\[\begin{align*}\overline{CM_1} &= \left| \overrightarrow {M}_1 - \overrightarrow C \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{49}{25} \\ \frac{57}{25} \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} \frac{24}{5} \\ \frac{24}{25} \\ \frac{132}{25} \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^2 + \left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{132}{25}\right)^2} \\[0.8em] &= \frac{36}{5} \\[0.8em] &= 7{,}2 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad r = 7{,}2\]

 

Der Radius der beiden Kreise, deren Punkte \(C^\ast\) zusammen mit den Punkten \(A\) und \(B\) kongruente Dreiecke \(ABC^\ast\) festlegen, beträgt \(7{,}2\) LE (Längeneinheiten).

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

 

\[C\,(-2|1|-3)\,, \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

Der Mittelpunkt M₁ des Kreises k ist Lotfußpunkt des Lotes des Punktes C auf die Gerade g.

Der Mittelpunkt \(M_1\) des Kreises \(k_1\) ist der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(C\) auf die Gerade \(g\).

Somit gilt: \(\overrightarrow{M_1C} \perp \overrightarrow{AB} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{M_1C} \circ \overrightarrow{AB} = 0\)

 

Vektor \(\overrightarrow{M_1C}\) allgemein beschreiben:

 

\[M_1 \in g \colon \enspace \overrightarrow{M}_1 = \begin{pmatrix} 1 + 5 \lambda \\ 7 - 14 \lambda \\ 3 - 2 \lambda \end{pmatrix}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{M_1C} &= \overrightarrow C - \overrightarrow{M}_1 \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 + 5 \lambda \\ 7 - 14 \lambda \\ 3 - 2 \lambda \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -3 - 5 \lambda \\ -6 + 14 \lambda \\ -6 + 2 \lambda \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Koordinaten des Kreismittelpunktes \(M_1\) bestimmen:

\[\begin{align*} \overrightarrow{M_1C} \circ \overrightarrow{AB} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -3 - 5 \lambda \\ -6 + 14 \lambda \\ -6 + 2 \lambda \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-3 - 5 \lambda) \cdot 5 + (-6 + 14 \lambda) \cdot (-14) + (-6 + 2 \lambda) \cdot (-2) &= 0 \\[0.8em] -15 - 25 \lambda +84 - 196 \lambda + 12 - 4 \lambda &= 0 \\[0.8em] 81 - 225 \lambda &= 0 \\[0.8em] -225 \lambda &= -81 \\[0.8em] \lambda &= \frac{9}{25} \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = \frac{9}{25}\) in \(g\) einsetzen:

 

\[M_1 \in g \colon \enspace \overrightarrow {M}_1 = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \frac{9}{25} \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{49}{25} \\ \frac{57}{25} \end {pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([CM_1]\) berechnen:

\[\begin{align*}\overline{CM_1} &= \left| \overrightarrow {M}_1 - \overrightarrow C \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{49}{25} \\ \frac{57}{25} \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} \frac{24}{5} \\ \frac{24}{25} \\ \frac{132}{25} \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^2 + \left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{132}{25}\right)^2} \\[0.8em] &= \frac{36}{5} \\[0.8em] &= 7{,}2 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad r = 7{,}2\]

 

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

 

\[C\,(-2|1|-3)\,, \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

Länge der Strecke zwischen dem Punkt C und einem beliebigen Punkt X ∈ g in Abhängigkeit des Parameterwertes λ der Geradengleichung von g

Die Länge der Strecke \(\,[CX]\,\) zwischen dem Punkt \(\,C\,\) und einem beliebeigne Punkt \(\,X \in g\,\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameterwertes \(\,\lambda\,\) der Geradengleichung von \(\,g\,\) beschreiben.

 

Länge der Strecke \([CX]\) in Abhängigkeit von \(\lambda\,\):

\[\overline{CX} = \vert \overrightarrow X - \overrightarrow C \vert\]

\[\begin{align*} \overline{CX}(\lambda) &= \left| \begin{pmatrix} 1 + 5 \lambda \\ 7 - 14 \lambda \\ 3 - 2 \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 3 + 5 \lambda \\ 6 - 14 \lambda \\ 6 - 2 \lambda \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(3 + 5 \lambda)^2 + (6 - 14 \lambda)^2 + (6 - 2 \lambda)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9 + 30 \lambda + 25 \lambda^2 + 36 - 168 \lambda + 196 \lambda^2 + 36 - 24 \lambda + 4 \lambda^2} \\[0.8em] &= \sqrt{225 \lambda^2 -162 \lambda + 81} \\[0.8em] &= \sqrt{9\left( 25 \lambda^2 -18 \lambda + 9 \right)} \\[0.8em] &= 3 \sqrt{25 \lambda^2 - 18 \lambda +9} \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda_{min}\) für minimale Länge bestimmen:

 

\(\overline{CX}(\lambda)\) ist minimal, wenn der Wert des Radikanden minimal ist.

\[\left[ 25 \lambda^2 - 18 \lambda + 9 \right]' \enspace \overset{!}{=} \enspace 0\]

 

Erste Ableitung des Radikanden bilden:

\[\left[ 25 \lambda^2 -18 \lambda + 9 \right]' = 50 \lambda - 18\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 50 \lambda - 18 &= 0 \\[0.8em] 50 \lambda &= 18 \\[0.8em] \lambda &=\frac{9}{25} \end{align*}\]

 

Art der Extremstelle:

 

\[\left[ 25 \lambda^2 - 18 \lambda + 9 \right]'' = \left[ 50 \lambda - 18 \right]' = 50\]

\[\Longrightarrow \quad \left[ 25 \lambda^2 - 18 \lambda + 9 \right]'' > 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad \overline{CX}(\lambda)\) ist für \(\lambda_{min} = \frac{9}{25}\) minimal.

 

Minimale Länge berechnen:

 

\[\begin{align*} \overline{CX}(\lambda_{min}) &= 3 \sqrt{25 \cdot \left( \frac{9}{25} \right)^2 - 18 \cdot \left( \frac{9}{25} \right) + 9} \\[0.8em] &= 3 \sqrt{\frac{81}{25} - \frac{162}{25} + \frac{225}{25}} \\[0.8em] &= 3 \sqrt{\frac{144}{25}} \\[0.8em] &= 3 \cdot \frac{12}{5} \\[0.8em] &= 7{,}2 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad r = 7{,}2\]

 

4. Lösungsansatz: Höhen- und Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) anwenden

Bestimmung des Kreisradius r: Anwenden des Höhensatzes und des Kathetensatzes am rechtwinkligen Dreieck ABC

Die Höhe \(h\) des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) entspricht dem Radius \(r\) der beiden Kreise, die im Raum die Menge aller Punkte \(C^\ast\) der kongruenten Dreiecke \(ABC^\ast\) festlegen.

 

Mit \(A\,(1|7|3), \enspace B\,(6|-7|1)\) und \(C\,(-2|1|-3)\) folgt:

\[a = \vert \overrightarrow C - \overrightarrow B \vert = \left| \begin {pmatrix} -2 - 6 \\ 1 - (-7) \\ -3 - 1 \end {pmatrix} \right| = \left| \begin {pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{(-8)^2 + 8^2 + (-4)^2} = 12\]

\[b = \vert \overrightarrow C - \overrightarrow A \vert = \left| \begin {pmatrix} -2 - 1 \\ 1 - 7 \\ -3 - 3 \end {pmatrix} \right| = \left| \begin {pmatrix} -3 \\ -6 \\ -6 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = 9\]

\[c = \vert \overrightarrow B - \overrightarrow A \vert = \left| \begin {pmatrix} 6 - 1 \\ -7 - 7 \\ 1 - 3 \end {pmatrix} \right| = \left| \begin {pmatrix} 5 \\ -14 \\ -2 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{5^2 + (-14)^2 + (-2)^2} = 15\]

 

\[a^2 = c \cdot p \quad \Longleftrightarrow \quad p = \frac{a^2}{c}\]

\[b^2 = c \cdot q \quad \Longleftrightarrow \quad q = \frac{b^2}{c}\]

\[h^2 = p \cdot q \quad \Longleftrightarrow \quad h^2 = \frac{a^2 \cdot b^2}{c^2}\]

 

\[\Longrightarrow \quad r = h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{12 \cdot 9}{15} = 7{,}2\]

 

5. Lösungsansatz: Fläche des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) bestimmen

 

Bestimmung des Kreisradius r: Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ABC bestimmen

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) lässt sich mit den Katheten \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\) oder mit der Hypothenuse \(\overline{AB}\) und der Höhe \(h\) berechnen

Die Höhe \(h\) des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) entspricht dem Radius \(r\) der beiden Kreise, die im Raum die Menge aller Punkte \(C^\ast\) der kongruenten Dreiecke \(ABC^\ast\) festlegen.

 

\(A = \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot r \quad\) oder \(\quad A = \frac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{AC}\)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{AB} \cdot r = \overline{BC} \cdot \overline{AC}\]

 

\[r = \frac{\overline{BC} \cdot \overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{12 \cdot 9}{15} = 7{,}2\]

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