Teilaufgabe c

Das Dreieck \(ABC\) aus Aufgabe \(a\) ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide \(ABCS\) mit der Spitze \(S(11{,}5|4|-6)\).

 

Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene \(E\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0)\)

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

\[A\,(1|7|3), \qquad B\,(6|-7|1), \qquad C\,(-2|1|-3)\]

Richtungsvektoren \(\overrightarrow {u}_E\) und \(\overrightarrow {v}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

 

Aus Teilaufgabe a sind die linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{CA}\) und \(\overrightarrow{CB}\) bereits bekannt.

 

\[\overrightarrow{CA} = 3 \cdot \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {u}_E = \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix}\]

\[\overrightarrow{CB} = 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {v}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow {n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

 

\[\overrightarrow {n}_E = \overrightarrow {u}_E \times \overrightarrow {v}_E \]

\[\begin{align*} \overrightarrow {n}_E &= \overrightarrow {u}_E \times \overrightarrow {v}_E \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 2 & \cdot & 1 & - & 2 & \cdot & (-2) \\ 2 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & 1 \\ 1 & \cdot & (-2) & - & 2 & \cdot & 2 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end {pmatrix} \\[0.8em] &= 3 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

 

Es sei \(C\,(-2|1|-3)\) Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \colon \enspace \overrightarrow {n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow C \right) = 0 \\[0.8em] &E \colon \enspace \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[\begin {align*} \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 2 \cdot (x_1 + 2) + 1 \cdot (x_2 - 1) + (-2) \cdot (x_3 + 3) &= 0 \\[0.8em] 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 &= 0 \end {align*}\]

 

\[E \colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0\]

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