Teilaufgabe e

Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene \(E\) haben, wenn für jeden Punkt \(P\) dieser Geraden die Pyramide \(ABCP\) das gleiche Volumen wie die Pyramide \(ABCS\) besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Lagebiehung einer Geraden \(g\) zur Ebene \(E\)

  • Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E - Grafik 1
    Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E - Grafik 1
  • Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E - Grafik 2
    Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E - Grafik 2
  • Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E - Grafik 1
  • Lagebeziehung der Geraden zur Ebene E - Grafik 2

Das Volumen der Pyramide \(ABCP\) mit fester Grundfläche \(A_{ABC}\) ist nur von der Höhe der Pyramide abhängig.

 

\[V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h\]

 

Für gleich Volumina der Pyramiden \(ABCS\) und \(ABCP\) muss demnach gelten:

 

\[ d\,(P; E) = d\,(S; E) = h\]

 

Folglich verlaufen alle Geraden \(g\) mit \(P \in g\) parallel zur Ebene \(E\) im Abstand \(d\,(g;E) = h = 12\). Sie liegen in einer zur Ebene \(E\) parallelen Ebene \(F\).

 

\[g \subset F\,; \quad F \parallel E\,; \quad d\,(F;E) = d\,(P;E) = d\,(S;E) = h = 12 \]

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