Teilaufgabe f
Lösung zu Teilaufgabe f
Nachweis, dass der Mittelpunkt \(M\) zugleich Höhenfußpunkt des Kegels ist
Der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Thaleskreis. Folglich liegt der Mittelpunkt \(M\) des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) auf der Mitte der Strecke \([AB]\) (Hypotenuse).
1. Lösungsansatz: Mittelpunkt \(M\) berechnen und \(\overrightarrow{MS} \perp E\) nachweisen
Der Mittelpunkt \(M\) des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) ist Höhenfußpunkt des Kegels, wenn der Vektor \(\overrightarrow{MS}\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht.
Mittelpunkt \(M\) des Umkreises berechnen:
\[\begin{align*} \overrightarrow M &= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow A + \overrightarrow B \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \left[ \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end {pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad M(3{,}5|0|2)\]
Nachweis, dass gilt: \(\overrightarrow{MS} \perp E\):
Der Vektor \(\overrightarrow{MS}\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\), wenn er ein Vielfaches des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) ist (Kollinearität, Lineare Abhängigkeit).
\(\overrightarrow{n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c)
\[\overrightarrow{MS} = \overrightarrow S - \overrightarrow M = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 8 \\ 4 \\ -8 \end {pmatrix} = 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{MS}= 4 \cdot \overrightarrow{n}_E\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{MS} \perp E\]
\(\Longrightarrow \quad\) Der Kegel, den der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) mit dem Punkt \(S\) festlegt, ist ein gerader Kegel.
2. Lösungsansatz: Nachweisen, dass der Lotfußpunkt von \(S\) Mittelpunkt des Umkreises ist
Die Lotgerade \(h\) mit \(S \in h\) schneidet die Ebene \(E\) im Lotfußpunkt \(F\). Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen dann einen geraden Kegel fest, wenn gilt: \(\overline{FA} = \overline{FB} = \overline{FC} = r\).
Lotgerade \(h\) bestimmen:
\[h \colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow S + \mu \cdot \overrightarrow{v}_h\,; \quad \mu \in \mathbb R\]
Die Lotgerade \(h\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\).
\(\Longrightarrow \quad \overrightarrow {v}_h = \overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c)
Mit \(S(11{,}5|4|-6)\) folgt:
\[h \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]
Lotfußpunkt \(F\) berechnen:
Zur Berechnung des Lotfußpunktes \(F\) (Schnittpunkt \(h, E\)) setzt man die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow X\) aus der Geradengleichung von \(h\) in die Normalengleichung der Ebene \(E\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\mu\) auf.
\[h \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]
\(E \colon \enspace 2x_1 + x_2 - 2x_3 - 3 = 0\) (siehe Teilaufgabe c )
\[ \begin {align*} h \cap E \colon \enspace 2 \cdot (11{,}5 + 2 \mu) + 4 + \mu - 2 \cdot (-6 - 2 \mu) - 3 &= 0 \\[0.8em] 23 + 4 \mu + 4 + \mu + 12 + 4 \mu - 3 &= 0 \\[0.8em] 9 \mu + 36 &= 0 \\[0.8em] 9 \mu &= -36 \\[0.8em] \mu &= -4 \end {align*} \]
Parameterwert \(\mu = -4\) in \(h\) einsetzen:
\[F \in h \colon \enspace \overrightarrow {F} = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} - 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end {pmatrix}\]
Nachweisen, dass \(F\) der Mittelpunkt des Umkreises ist:
\[A\,(1|7|3)\,, \quad B\,(6|-7|1)\,, \quad C\,(-2|1|-3)\,, \quad F\,(3{,}5|0|2)\]
\[\vert \overrightarrow{FA} \vert = \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2{,}5^2 + 7^2 + 1^2} = 7{,}5 \]
\[\vert \overrightarrow{FB} \vert = \left| \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ -7 \\ -1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2{,}5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = 7{,}5 \]
\[\vert \overrightarrow{FC} \vert = \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -5{,}5 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-5{,}5)^2 + 1^2 + (-5)^2} = 7{,}5 \]
\[\Longrightarrow \quad \overline{FA} = \overline{FB} = \overline{FC} = r = 7{,}5\]
\(\Longrightarrow \quad\) Der Kegel, den der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) mit dem Punkt \(S\) festlegt, ist ein gerader Kegel.
Größenvergleich: Volumen des Kegels - Volumen der Pyramide \(ABCS\)
Volumen des Kegels:
\[V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot \overline{MS}\]
\[\overline{MS} = \vert \overrightarrow{MS} \vert = \left| \begin {pmatrix} 8 \\ 4 \\ -8 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{(8^2 + 4^2 + (-8)^2} = 12\]
\[V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot 7{,}5^2 \pi \cdot 12 = 225 \pi\]
\(V_{ABCS} = 216\) (siehe Teilaufgabe d)
\[\frac{V_{\text{Kegel}} - V_{ABCS}}{V_{ABCS}} = \frac{225 \pi - 216}{216} \approx 2{,}27 = 227 \%\]
Das Volumen des Kegels, den der Umkreis \(k\) des Dreiecks \(ABC\) mit dem Punkt \(S\) festlegt, ist ca. \(227 \; \%\) größer als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).
