Teilaufgabe f

Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe f

 

Nachweis, dass der Mittelpunkt \(M\) zugleich Höhenfußpunkt des Kegels ist

Der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Thaleskreis. Folglich liegt der Mittelpunkt \(M\) des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) auf der Mitte der Strecke \([AB]\) (Hypotenuse).

Der Umkreis des rechtwinkligen Dreiecks ABC ist der Thaleskreis.

 

1. Lösungsansatz: Mittelpunkt \(M\) berechnen und \(\overrightarrow{MS} \perp E\) nachweisen

 

Der Mittelpunkt M des Umkreises ist Höhenfußpunkt der Kegelspitze S, wenn der Vektor MS senkrecht auf der Ebene E steht.

Der Mittelpunkt \(M\) des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) ist Höhenfußpunkt des Kegels, wenn der Vektor \(\overrightarrow{MS}\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht.

 

Mittelpunkt \(M\) des Umkreises berechnen:

\[\begin{align*} \overrightarrow M &= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow A + \overrightarrow B \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \left[ \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin {pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end {pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad M(3{,}5|0|2)\]

 

Nachweis, dass gilt: \(\overrightarrow{MS} \perp E\):

 

Der Vektor \(\overrightarrow{MS}\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\), wenn er ein Vielfaches des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) ist (Kollinearität, Lineare Abhängigkeit).

\(\overrightarrow{n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c)

 

\[\overrightarrow{MS} = \overrightarrow S - \overrightarrow M = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 8 \\ 4 \\ -8 \end {pmatrix} = 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{MS}= 4 \cdot \overrightarrow{n}_E\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{MS} \perp E\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Kegel, den der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) mit dem Punkt \(S\) festlegt, ist ein gerader Kegel.

 

2. Lösungsansatz: Nachweisen, dass der Lotfußpunkt von \(S\) Mittelpunkt des Umkreises ist

 

Die Lotgerade h enthält den Punkt S und schneidet die Ebene E im Lotfußpunkt F.

Die Lotgerade \(h\) mit \(S \in h\) schneidet die Ebene \(E\) im Lotfußpunkt \(F\). Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen dann einen geraden Kegel fest, wenn gilt: \(\overline{FA} = \overline{FB} = \overline{FC} = r\).

 

Lotgerade \(h\) bestimmen:

\[h \colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow S + \mu \cdot \overrightarrow{v}_h\,; \quad \mu \in \mathbb R\]

 

Die Lotgerade \(h\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\).

 

\(\Longrightarrow \quad \overrightarrow {v}_h = \overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c)

 

Mit \(S(11{,}5|4|-6)\) folgt:

 

\[h \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]

 

Lotfußpunkt \(F\) berechnen:

 

Zur Berechnung des Lotfußpunktes \(F\) (Schnittpunkt \(h, E\)) setzt man die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow X\) aus der Geradengleichung von \(h\) in die Normalengleichung der Ebene \(E\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\mu\) auf.

 

\[h \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\]

\(E \colon \enspace 2x_1 + x_2 - 2x_3 - 3 = 0\) (siehe Teilaufgabe c )

 

\[ \begin {align*} h \cap E \colon \enspace 2 \cdot (11{,}5 + 2 \mu) + 4 + \mu - 2 \cdot (-6 - 2 \mu) - 3 &= 0 \\[0.8em] 23 + 4 \mu + 4 + \mu + 12 + 4 \mu - 3 &= 0 \\[0.8em] 9 \mu + 36 &= 0 \\[0.8em] 9 \mu &= -36 \\[0.8em] \mu &= -4 \end {align*} \]

 

Parameterwert \(\mu = -4\) in \(h\) einsetzen:

 

\[F \in h \colon \enspace \overrightarrow {F} = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} - 4 \cdot \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end {pmatrix}\]

 

Nachweisen, dass \(F\) der Mittelpunkt des Umkreises ist:

 

\[A\,(1|7|3)\,, \quad B\,(6|-7|1)\,, \quad C\,(-2|1|-3)\,, \quad F\,(3{,}5|0|2)\]

\[\vert \overrightarrow{FA} \vert = \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2{,}5^2 + 7^2 + 1^2} = 7{,}5 \]

\[\vert \overrightarrow{FB} \vert = \left| \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ -7 \\ -1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2{,}5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = 7{,}5 \]

\[\vert \overrightarrow{FC} \vert = \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -5{,}5 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-5{,}5)^2 + 1^2 + (-5)^2} = 7{,}5 \]

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{FA} = \overline{FB} = \overline{FC} = r = 7{,}5\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Kegel, den der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) mit dem Punkt \(S\) festlegt, ist ein gerader Kegel.

 

Der Umkreis des Dreiecks ABC und der Punkt S legen einen geraden Kreiskegel fest.

 

Größenvergleich: Volumen des Kegels - Volumen der Pyramide \(ABCS\)

 

Volumen des Kegels:

\[V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot \overline{MS}\]

\[\overline{MS} = \vert \overrightarrow{MS} \vert = \left| \begin {pmatrix} 8 \\ 4 \\ -8 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{(8^2 + 4^2 + (-8)^2} = 12\]

 

\[V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot 7{,}5^2 \pi \cdot 12 = 225 \pi\]

 

\(V_{ABCS} = 216\) (siehe Teilaufgabe d)

 

\[\frac{V_{\text{Kegel}} - V_{ABCS}}{V_{ABCS}} = \frac{225 \pi - 216}{216} \approx 2{,}27 = 227 \%\]

 

Das Volumen des Kegels, den der Umkreis \(k\) des Dreiecks \(ABC\) mit dem Punkt \(S\) festlegt, ist ca. \(227 \; \%\) größer als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

 

Größenvergleich: Pyramide ABCS und gerader Kreiskegel

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