Teilaufgabe 1a

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ereignisse festlegen:

\(N\): "Einwohner aus Niederberg"

\(O\): "Einwohner aus Oberberg"

\(W\): "für die Windkraftanlage"

\(\overline{W}\): "gegen die Windkraftanlage"

Gesucht ist jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(\overline{W}\) unter der Bedingung von \(N\) bzw. \(O\), also die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_N(\overline{W})\) bzw. \(P_O(\overline{W})\).

Vierfeldertafel mit den Anzahlen der Ereignisse

Gegeben:

"In Niederberg werden 1722 ... Einwohner befragt."

\(\Longrightarrow \quad\) \(|N| = 1722\)

"... werden ... in Oberberg 258 Einwohner befragt."

\(\Longrightarrow \quad\) \(|O| = 258\)

"... 1089 aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Winkkraftanlage ..."

\(\Longrightarrow \quad\) \(|W| = 1089 \quad\)

"... 1089 aller Befragten äußern keine Einwände ..., darunter ... 27 Einwohner von Oberberg"

\(\Longrightarrow \quad\) \(|W \cap O| = 27 \quad\)

\[|\Omega| = |N| + |O| = 1722 + 258 = 1980\]

\[|\overline{W}| = |\Omega| - |W| = 1980 - 1089 = 891\]

\[|W \cap N| = |W| - |W \cap O| = 1089 -27 = 1062\]

\[|\overline{W} \cap O| = |O| - |W \cap O| = 258 - 27 = 231\]

\[|\overline{W} \cap N| = |N| - |W \cap N| = 1722 - 1062 = 660\]

Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_N(\overline{W})\) berechnen:

\[P_N(\overline{W}) = \frac{P(N \cap \overline{W})}{P(N)}\]

\[P(N \cap \overline{W}) = \frac{|N \;\cap \;\overline{W}|}{|\Omega|}; \hspace{50px} P(N) = \frac{|N|}{|\Omega|}\]

\[\Longrightarrow \quad P_N(\overline{W}) = \frac{|N \cap \overline{W}|}{|N|} = \frac{660}{1722} = \frac{110}{287} \approx 0{,}383 = 38{,}3 \; \%\]

Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_O(\overline{W})\) berechnen:

\[P_O(\overline{W}) = \frac{P(O \cap \overline{W})}{P(O)}\]

\[P(O \cap \overline{W}) = \frac{|O \;\cap \;\overline{W}|}{|\Omega|}; \hspace{50px} P(O) = \frac{|N|}{|\Omega|}\]

\[\Longrightarrow \quad P_O(\overline{W}) = \frac{|O \cap \overline{W}|}{|O|} = \frac{231}{258} = \frac{77}{86} \approx 0{,}895 = 89{,}5 \; \%\]