Teilaufgabe 1a
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Ereignisse festlegen:
\(N\): "Einwohner aus Niederberg"
\(O\): "Einwohner aus Oberberg"
\(W\): "für die Windkraftanlage"
\(\overline{W}\): "gegen die Windkraftanlage"
Gesucht ist jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(\overline{W}\) unter der Bedingung von \(N\) bzw. \(O\), also die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_N(\overline{W})\) bzw. \(P_O(\overline{W})\).
Vierfeldertafel mit den Anzahlen der Ereignisse
Gegeben:
"In Niederberg werden 1722 ... Einwohner befragt."
\(\Longrightarrow \quad\) \(|N| = 1722\)
"... werden ... in Oberberg 258 Einwohner befragt."
\(\Longrightarrow \quad\) \(|O| = 258\)
"... 1089 aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Winkkraftanlage ..."
\(\Longrightarrow \quad\) \(|W| = 1089 \quad\)
"... 1089 aller Befragten äußern keine Einwände ..., darunter ... 27 Einwohner von Oberberg"
\(\Longrightarrow \quad\) \(|W \cap O| = 27 \quad\)
\(W\) | \(\overline{W}\) | ||
\(N\) | \(|W \cap N| = 1062\) | \(|\overline{W} \cap N| = 660\) | \(|N| = 1722\) |
\(O\) | \(|W \cap O| = 27\) | \(|\overline{W} \cap O| = 231\) | \(|O| = 258\) |
\(|W| = 1089\) | \(|\overline{W}| = 891\) | \(|\Omega| = 1980\) |
\[|\Omega| = |N| + |O| = 1722 + 258 = 1980\]
\[|\overline{W}| = |\Omega| - |W| = 1980 - 1089 = 891\]
\[|W \cap N| = |W| - |W \cap O| = 1089 -27 = 1062\]
\[|\overline{W} \cap O| = |O| - |W \cap O| = 258 - 27 = 231\]
\[|\overline{W} \cap N| = |N| - |W \cap N| = 1722 - 1062 = 660\]
Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_N(\overline{W})\) berechnen:
\[P_N(\overline{W}) = \frac{P(N \cap \overline{W})}{P(N)}\]
\[P(N \cap \overline{W}) = \frac{|N \;\cap \;\overline{W}|}{|\Omega|}; \hspace{50px} P(N) = \frac{|N|}{|\Omega|}\]
\[\Longrightarrow \quad P_N(\overline{W}) = \frac{|N \cap \overline{W}|}{|N|} = \frac{660}{1722} = \frac{110}{287} \approx 0{,}383 = 38{,}3 \; \%\]
Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_O(\overline{W})\) berechnen:
\[P_O(\overline{W}) = \frac{P(O \cap \overline{W})}{P(O)}\]
\[P(O \cap \overline{W}) = \frac{|O \;\cap \;\overline{W}|}{|\Omega|}; \hspace{50px} P(O) = \frac{|N|}{|\Omega|}\]
\[\Longrightarrow \quad P_O(\overline{W}) = \frac{|O \cap \overline{W}|}{|O|} = \frac{231}{258} = \frac{77}{86} \approx 0{,}895 = 89{,}5 \; \%\]