Teilaufgabe 2a

Die Windkraftgegner schließen sich zu einer Bürgerinitiative zusammen.

Zur Verbesserung ihrer finanziellen Mittel hat die Bürgerinitiative auf dem Gemeindefest ein Glücksrad mit zehn gleich großen Sektoren aufgebaut (vgl. Abbildung). Ein Spiel besteht aus dem einmaligen Drehen des Glücksrads; die erzielte Zahl gibt die Kategorie des Preises an, den der Spieler erhält.

Abbildung Teilaufgabe 2a: Glücksrad

Ein Preis der Kategorie 1 ist für die Bürgerinitiative mit Unkosten in Höhe von zehn Euro, ein Preis der Kategorie 2 mit Unkosten in Höhe von fünf Euro verbunden. Preise der Kategorie 3 und 4 werden von Sponsoren gestellt und verursachen keine Unkosten. Bestimmen Sie den im Mittel pro Spiel zu erwartenden Gewinn der Bürgerinitiative, wenn der Einsatz für ein Spiel 2,50 Euro beträgt und keine weiteren Unkosten anfallen.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Die Wahrscheinlichkeiten der Preiskategorien sind gegeben mit:

 

\[P(\text{1}) = \frac{1}{10} =0{,}1\,;\quad P(\text{2}) = \frac{2}{10} =0{,}2\,;\]

\[P(\text{3}) = \frac{3}{10} =0{,}3\,;\quad P(\text{4}) = \frac{4}{10} =0{,}4\,;\]

 

Erwartungswert des Gewinns \(G\) pro Spiel

 

Die Zufallsgröße \(G\) ordnet jeder Preiskategorie einen Gewinn \(g_i\) in Euro zu.

 

Gewinn \(G\) = "Einsatz minus Unkosten"

Einsatz pro Spiel: 2,50 €

 

Preiskategorie \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
Unkosten [€] \(10\) \(5\) \(0\) \(0\)
\(g_i\) [€] \(-7{,}50\) \(-2{,}50\) \(2{,}50\) \(2{,}50\)
\(P(G = g_i)\) \(0{,}1\) \(0{,}2\) \(0{,}3\) \(0{,}4\)

\[\begin{align*} E(G) &= \sum \limits_{i\;=\;1}^{4} g_i \cdot P(G = g_i) \\[0.8em] &= g_1 \cdot P(G = g_1) + g_2 \cdot P(G = g_2) + g_3 \cdot P(G = g_3) + g_4 \cdot P(G = g_4) \\[0.8em] &= (-7{,}50 \cdot 0{,}1 - 2{,}50 \cdot 0{,}2 + 2{,}50 \cdot 0{,}3 + 2{,}50 \cdot 0{,}4) \, \text{€} \\[0.8em] &= 0{,}50\;\text{€} \end{align*}\]

 

Der im Mittel zu erwartenden Gewinn pro Spiel beträgt 0,50 €.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2b »