Lösung zu Teilaufgabe 3
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(G \colon \enspace\) "Anzahl der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen"
Analyse der Angabe:
"... unter zehn zufällig ausgewählten Badegästen ..."
\[\Longrightarrow \quad n = 10\]
"... wenigstens ein Gegner der Windkraftanlage ..."
\[\Longrightarrow \quad G \geq 1\]
"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ..."
\[\Longrightarrow \quad P^{10}_p(G \geq 1) \geq 0{,}99\]
Betrachten des Gegenereignisses
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
Formel von Bernoulli
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin {align*}P_p^{10}(G \geq 1) &\geq 0{,}99 & &| \; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P_p^{10}(G = 0) &\geq 0{,}99 & &| -1 \\[0.8em] -P_p^{10}(G = 0) &\geq -0{,}01 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_p^{10} (G = 0) &\leq 0{,}01 & &| \; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{10}{0}}_{1} \cdot \underbrace{p^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{10 - 0} &\leq 0{}01 & &| \; \sqrt[10]{\quad} \\[0.8em] 1 - p &\leq \sqrt[10]{0{,}01} & &| -1 \\[0.8em] -p &\leq \sqrt[10]{0{,}01} - 1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] p &\geq 1 - \sqrt[10]{0{,}01} \end {align*}\]
\[1 - \sqrt[10]{0{,}01}\approx 0{,}37 = 37 \; \%\]
Der Anteil \(p\) der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen muss mindestens 37 % betragen.
Kumulative Wahrscheinlichkeit \(\,P^{10}_{0{,}37}(G \geq 1)\,\) der nach \(\,B(10;0{,}37)\,\) binomialverteilten Zufallsgröße \(\,G\,\)
