Teilaufgabe 3
Lösung zu Teilaufgabe 3
Binomialverteilung
Zufallsgröße \(G \colon \enspace\) "Anzahl der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen"
Analyse der Angabe:
"... unter zehn zufällig ausgewählten Badegästen ..."
\[\Longrightarrow \quad n = 10\]
"... wenigstens ein Gegner der Windkraftanlage ..."
\[\Longrightarrow \quad G \geq 1\]
"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ..."
\[\Longrightarrow \quad P^{10}_p(G \geq 1) \geq 0{,}99\]
Betrachten des Gegenereignisses
\[\begin {align*}P_p^{10}(G \geq 1) &\geq 0{,}99 & &| \; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P_p^{10}(G = 0) &\geq 0{,}99 & &| -1 \\[0.8em] -P_p^{10}(G = 0) &\geq -0{,}01 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_p^{10} (G = 0) &\leq 0{,}01 & &| \; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{10}{0}}_{1} \cdot \underbrace{p^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{10 - 0} &\leq 0{}01 & &| \; \sqrt[10]{\quad} \\[0.8em] 1 - p &\leq \sqrt[10]{0{,}01} & &| -1 \\[0.8em] -p &\leq \sqrt[10]{0{,}01} - 1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] p &\geq 1 - \sqrt[10]{0{,}01} \end {align*}\]
\[1 - \sqrt[10]{0{,}01}\approx 0{,}37 = 37 \; \%\]
Der Anteil \(p\) der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen muss mindestens 37 % betragen.
Kumulative Wahrscheinlichkeit \(\,P^{10}_{0{,}37}(G \geq 1)\,\) der nach \(\,B(10;0{,}37)\,\) binomialverteilten Zufallsgröße \(\,G\,\)
