Teilaufgabe 3

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Die Bürgerinitiative veranstaltet am viel besuchten Badesee der Gemeinde eine Unterschriftenaktion gegen die geplante Windkraftanlage.

Berechnen Sie, wie hoch der Anteil \(p\) der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen mindestens sein muss, damit sich unter zehn zufällig ausgewählten Badegästen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % wenigstens ein Gegner der Windkraftanlage befindet. 

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(G \colon \enspace\) "Anzahl der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen"

 

Analyse der Angabe:

 

"... unter zehn zufällig ausgewählten Badegästen ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 10\]

 

"... wenigstens ein Gegner der Windkraftanlage ..."

\[\Longrightarrow \quad G \geq 1\]

 

"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ..."

\[\Longrightarrow \quad P^{10}_p(G \geq 1) \geq 0{,}99\]

 

Betrachten des Gegenereignisses

\[\begin {align*}P_p^{10}(G \geq 1) &\geq 0{,}99 & &| \; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P_p^{10}(G = 0) &\geq 0{,}99 & &| -1 \\[0.8em] -P_p^{10}(G = 0) &\geq -0{,}01 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_p^{10} (G = 0) &\leq 0{,}01 & &| \; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{10}{0}}_{1} \cdot \underbrace{p^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{10 - 0} &\leq 0{}01 & &| \; \sqrt[10]{\quad} \\[0.8em] 1 - p &\leq \sqrt[10]{0{,}01} & &| -1 \\[0.8em] -p &\leq \sqrt[10]{0{,}01} - 1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] p &\geq 1 - \sqrt[10]{0{,}01} \end {align*}\]

 

\[1 - \sqrt[10]{0{,}01}\approx 0{,}37 = 37 \; \%\]

 

Der Anteil \(p\) der Gegner der Windkraftanlage unter den Badegästen muss mindestens 37 % betragen.

 

Kumulative Wahrscheinlichkeit P(G ≥ 1) der nach B(10;0,37) binomialverteilten Zufallsgröße G

Kumulative Wahrscheinlichkeit \(\,P^{10}_{0{,}37}(G \geq 1)\,\) der nach \(\,B(10;0{,}37)\,\) binomialverteilten Zufallsgröße \(\,G\,\)

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