Teilaufgabe 4

Lösung zu Teilaufgabe 4

Signifikanztest

Zufallsgröße \(G \colon \enspace\) "Anzahl wahlberechtigter Gegner der Windkraftanlage"

Analyse der Angabe:

"... werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte ... befragt."

\(\Longrightarrow \quad n = 200\)

"... vermutet ... ,dass ... mindestens 55 % ..."

\(\Longrightarrow \quad H_0\): \(p \geq 0{,}55\)

"... mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)

Die Irrtumswahrscheinlichkeit, die Vermutung des Gemeinderats abzulehnen, obwohl mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde gegen die Einrichtung der Windkraftanlage sind, soll höchstens 5 % betragen.

\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)

Linksseitiger Signifikanztest

Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \geq 0{,}55\)

Gegenhypothese \(H_1 \colon \enspace p < 0{,}55\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\)

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{k + 1; ...; 200\}\)

Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:

\[P^{200}_{0{,}55} (G \leq k) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

\[P^{200}_{0{,}55} (G \leq k) = F^{200}_{0{,}55} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^k B(200; 0{,}55; i) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 97 \quad \left( F^{200}_{0{,}55} (97) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}03810 \right)\]

Entscheidungsregel formulieren:

Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{0; 1; ...; 97\}\)

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{98; ...; 200\}\)

Die Vermutung des Gemeinderats wird abgelehnt, wenn das Ergebnis der Umfrage höchstens 97 Gegner der Winkraftanlage ausweist.