Teilaufgabe 4

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Stochastik

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Aufgrund der vielfältigen Aktivitäten der Bürgerinitiative vermutet der Gemeinderat, dass inzwischen mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde gegen die Einrichtung der Windkraftanlage sind. Um diese Vermutung zu testen, werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte der Gemeinde befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung des Gemeinderats mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt werden soll?

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

Signifikanztest

 

Zufallsgröße \(G \colon \enspace\) "Anzahl wahlberechtigter Gegner der Windkraftanlage"

 

Analyse der Angabe:

 

"... werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte ... befragt."

\(\Longrightarrow \quad n = 200\)

 

"... vermutet ... ,dass ... mindestens 55 % ..."

\(\Longrightarrow \quad H_0\): \(p \geq 0{,}55\)

 

"... mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)

 

Die Irrtumswahrscheinlichkeit, die Vermutung des Gemeinderats abzulehnen, obwohl mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde gegen die Einrichtung der Windkraftanlage sind, soll höchstens 5 % betragen.

\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)

 

Linksseitiger Signifikanztest

Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \geq 0{,}55\)

Gegenhypothese \(H_1 \colon \enspace p < 0{,}55\)

 

Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\)

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{k + 1; ...; 200\}\)

 

Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:

 

\[P^{200}_{0{,}55} (G \leq k) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P^{200}_{0{,}55} (G \leq k) = F^{200}_{0{,}55} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^k B(200; 0{,}55; i) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 97 \quad \left( F^{200}_{0{,}55} (97) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}03810 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

 

Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{0; 1; ...; 97\}\)

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{98; ...; 200\}\)

 

Die Vermutung des Gemeinderats wird abgelehnt, wenn das Ergebnis der Umfrage höchstens 97 Gegner der Winkraftanlage ausweist.

 

B(200;0,55;k), Signifikanztest zum Signifikanzniveau α = 0,05, Nullhypothese: p₀ ≥ 0,55, Ablehnungsbereich = [0;1;...;97], Annahmebereich = [98;...;200]

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