Teilaufgabe 2a

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Die Fluggesellschaft beabsichtigt , ihren Passagieren neben dem Standardmenü gegen Zuzahlung ein Premiummenü anzubieten, möchte diesen Service jedoch nur dann einrichten, wenn er von mehr als 15 % der Passagiere gewünscht wird. Die Nullhypothese "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs." soll auf der Basis einer Stichprobe von 200 Passagieren auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Signifikanztest

 

Zufallsgröße \(P \colon \enspace\) "Anzahl der Passagiere, die ein Premiummenü wünschen"

 

Analyse der Angabe:

 

"... auf der Basis einer Stichprobe von 200 Passagieren ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Stichprobenumfang \(n = 200\)

 

"Die Nullhypothese "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs." ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\)

 

"... auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden."

\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)

 

Die Irrtumswahrscheinlichkeit, das Premiummenü anzubieten, obwohl höchstens 15 % der Passagiere dieses wünschen, soll höchstens 5 % betragen.

\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)

 

Rechtsseitiger Signifikanztest

Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\)

Gegenhypothese \(H_1 \colon \enspace p > 0{,}15\)

 

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; k\}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{k + 1; ...; 200\}\)

 

Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:

 

\[P^{200}_{0{,}15} (P \geq k + 1) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin {align*} P^{200}_{0{,}15} (P \geq k + 1) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] 1 - P^{200}_{0{,}15} (P \leq k) &\leq 0{,}05 & &| -1 \\[0.8em] -P^{200}_{0{,}15}(P \leq k) &\leq -0{,}95 & &| \cdot (-1) \qquad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{200}_{0{,}15}(P \leq k) &\geq 0{,}95 \end {align*}\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P^{200}_{0{,}15} (P \leq k) = F^{200}_{0{,}15} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^{k} B(200; 0{,}15; i) \enspace \overset{!}{\geq} \enspace 0{,}95\]

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 38 \quad \left( F^{200}_{0{,}15} (38) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}95020 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

 

Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; 38\}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{39; ...; 200\}\)

 

Wenn sich mindestens 39 Passagiere für das Angebot eines Premiummenüs aussprechen, wird die Nullhypothese "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs." abgelehnt.

 

B(200;0,15;k), Signifikanztest zum Signifikanzniveau α = 0,05, Nullhypothese: p₀ ≤ 0,15, Annahmebereich = [0;1;...;38], Ablehnungsbereich = [39;...;200]

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