Teilaufgabe 1b

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[g(x) = \frac{3}{x^2 - 1}\]

 

Maximaler Definitionsbereich der Funktion \(g\)

 

Die Nullstellen des Nennerterms \(x^2 - 1\) (Polstellen) schränken den Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktion \(g\) ein.

 

\[x^2 - 1 \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x + 1) (x - 1) \neq 0\]

\[\Longrightarrow \quad x \neq \pm 1\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_g = \mathbb R \, \backslash \, \{-1;1\}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} x^{2} - 1 &\neq 0 & &| + 1 \\[0.8em] x^{2} &\neq 1 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x &\neq \pm 1 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_g = \mathbb R \, \backslash \, \{-1;1\}\]

 

Term der Ableitungsfunktion von \(g\)

1. Lösungsansatz: Anwenden der Quotientenregel

 

\[\begin{align*} g(x) = \frac{3}{x^2 - 1} \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= \frac{0 \cdot (x^2 - 1) - 3 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} \\[0.8em] &= -\frac{6x}{(x^2 - 1)^2} \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Umformen in Potenzschreibweise

 

\[g(x) = \frac{3}{x^2 - 1} = 3 \cdot (x^2 - 1)^{-1}\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad g'(x) &= 3 \cdot (-1) \cdot (x^2 - 1)^{-2} \cdot 2x \\[0.8em] &= -\frac{6x}{(x^2 - 1)^2} \end{align*}\]

 

Verlauf des Graphen von \(g\) und des Graphen von \(g'\) mit \(D_g = \mathbb R \, \backslash \, \{-1;1\}\)